計(jì)算方法課件第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法-文庫吧資料
2025-05-17 02:00本頁面
【正文】 1,2,1()1,2,1(/)()1()1()()1()1()(??????????????????????????nkjnkkkiaaaankkjaaakkjkikkijkijkkkkkjkkj????從而得到解 ),2,1()( 1 niax inii ??? ?這一無回代的消去法稱為 高斯 若當(dāng) （ Jordan） 消去法 二、高斯 若當(dāng) （ Jordan） 消去法 解 ??????????????????????????????? ?641202524312.1321xxx解方程組例沒有回代過程),(),( xIbA ????????????????????????????? ??511021402123211620245241312),( bA????????????????????????????????61001010900161002141104381101??????????????????????????????????????294300214110438110151102141102123211???????????619321xxx例 2 試用高斯 若當(dāng)消去法求解例 。n,2k,1ki(aaaa)1n。n,3i(aaaa)1n,3j(a/aa)b,A)2(j2)1(2i)1(ij)2(ij)1(22)1(j2)2(j2)2()2( ：中個(gè)元素的計(jì)算公式為對于（ 一般地， 第 k步 ：即將矩陣變?yōu)槿缦? ???????????????????????????????????)3(1n3)2(1n2)1(23)1(1n1)1(13)1(12)1k()1k(a1aa10aaa1b,A ）（0k1k1kk),n,1kiaki,ak)1k(ik)1k(kk個(gè)元素變?yōu)樾械暮竺娓餍械冢刈優(yōu)閭€(gè)元行第這樣就將第倍（元素的行對應(yīng)行的元素減去第第行各元素除以對第???????????????????????????????????????????)3(1n3)2(1n2)1(23)1(1n1)1(13)1(12)1k()1k(a1aa10aaa1b,A ）（???????????????????????????????????)1n,1kj。n,2i(aaaa)1n,2j(a/aa)b,A)1(j1)0(1i)0(ij)1(ij)0(11)0(j1)1(j1)1()1( ：中個(gè)元素的計(jì)算公式為對于（。 下面我們來討論一般的解 n階方程組的高斯消去法，且 就矩陣的形式來介紹這種新的過程： bb,AAbbbbb,xxxXX,)a(A,bAXn)0()0(n21n21nnij?????????????????????????????????????為了敘述方便，記為右端項(xiàng)為解向量階線性方程組給定???????????????????????????????????)0(2n4)0(n4)0(42)0(41)0(1n3)0(n3)0(32)0(31)0(1n2)0(n2)0(22)0(21)0(1n1)0(n1)0(12)0(110)0()0(1n,ii)0(iij)0(ijaaaaaaaaaaaaaaaab,A)abb,aa）（則增廣矩陣為：（一、消元）（。 用矩陣的觀點(diǎn)來看 ，就是用初等變換的方法將 方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，即 ???????????????????????????????????????????????????61002141102123211511021402123211610245241312)b|A( 這樣就將系數(shù)陣化為單位三角陣，這個(gè)過程稱為“消元 過程”。 ??????????????5xx2xx421x23x21xI32323212 第二步：將方程 中第二個(gè)方程的兩邊除以 的系數(shù) 4 ?????????????????5xx21x41x21x23x21x323232112I 2x?????????????????5x4321x41x21x23x21x3323212 將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程： 第三步：為了一致期見，將第三個(gè)方程中的 系數(shù)變?yōu)?1， 除以 ????????????????6x21x41x21x23x21x3323211 我們來分析一下上述過程：整個(gè)過程分兩大步。其思想是首先把線性方程組 (31)等價(jià)變換為如下形式的方程組： 數(shù)值解法主要有兩大類 ： )23( ??? fxMx??????????????????????????????? ?nnnnnnnnnijffffmmmmmmmmmmM????????21212222111211)( ，其中然后構(gòu)造迭代格式 )33(1 ???? fxMx kk這稱為 一階定常迭代格式 ， M 稱為 迭代矩陣 。即按求精確解的方法運(yùn)算求解。第三章 線性代數(shù)方程組的數(shù) 值解法 引言 解線性方程組的消去法 解線性方程組的矩陣分解法 解線性方程組的迭代法 引言 給定一個(gè)線性方程組 )13(bAx ?????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnijbbbbxxxxaaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,)(這里求解向量 x。 第一類是 直接法 。 第二類是 迭代法 。 解線性方程組的消去法 高斯消去法與高斯若當(dāng)消去法 例 1 ?????????? ??????????????6202452413126x2x24x5x2x41xxx231321321 第一步：先將方程（ 1）中未知數(shù) 的系數(shù) 2除（ 1）的兩 邊，得到下列方程組： 1x??????????????6x2x24x5x2x421x23x21xI313213211 再將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的 4倍，第三個(gè)方程減去 第一個(gè)方程的 2倍。一是用 逐次消去未知數(shù)的方法，把原來的方程組化為與其等價(jià)的三 角形方程組。 二是解三角形方程組 ，稱為“回代過程”，整個(gè)過程 稱為“有回代過程的順序消元法”。個(gè)元素變?yōu)椋溆喔餍械牡谝晃恢米優(yōu)檫@樣，倍，減去第一行對應(yīng)元素的行元數(shù)（后用第然）的第一行個(gè)元素除以第一步：對（01a),n,2i(a)n,2ii,ab,A)0(11)0(1i)0(11)0()0(?????????????????????????????????????????)0(1nn)0(nn)0(3n)0(2n)0(1n)0(1n2)0(n2)0(23)0(22)0(21)0(11)0(1n1)0(11)0(n1)0(11)0(13)0(11)0(12)0()0(aaaaaaaaaaa/aa/aa/aa/a1)b,A(???????????????????????????????????????????)1(1nn)0(1n)0(1nn)1(nn)0(1n)0(nn)1(3n)0(1n)0(3n)1(2n)0(1n)0(2n)1(1n1)0(21)0(1n2)1(n1)0(21)0(n2)1(13)0(21)0(23)1(12)0(21)0(22)1(1n1)1(n1)1(13)1(1
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