【正文】 。 )313(1m a x)( 1 ??? ?? iniM ?? 迭代法的應(yīng)用說明 (1) 若系數(shù)矩陣非嚴(yán)格對角占優(yōu)，采用等價(jià)變換使之約化為系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)的線性方程組，然后用雅可比迭代法或高斯 塞德爾迭代法求解。 nnJijJ mM ?? )()0(x推論 如果線性代數(shù)方程組 A x = b的系數(shù)矩陣 A 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，即 )303(),2,1(1??? ???njijijii niaa ?則相應(yīng)的雅可比迭代法與高斯 塞德爾迭代法對任何初始向量 均收斂。 ???????? fxMxfxMxkk )()1(**由),2,1()(11*)(1*)(*)1(nieemxxmxxmxxkknjijnjjkjijnjjkjijiki?????????????????相減得 ????????????????ikjnjijkiijnjijifxmxfxmx)(1)1(*1*即則該迭代格式對任何初始向量 均收斂。,2,1()(111 1)()1()1( ?????? ? ??? ???? ?? knixaxabaxijnijkjijkjijiiiki用矩陣表示為 bLDxULDx kk 1)(1)1( )()( ??? ????對雅可比迭代格式修改得 高斯 塞德爾 （ GS） 迭代 f GS MGS 例 分別用雅可比迭代法和高斯 塞德爾迭代法求解 線性方程組 ?????????????????????????????????????1015352111021210321xxx解 高斯 塞德爾迭代 ????????????????????)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx?????????????????)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 雅可比迭代 令 取四位小數(shù)迭代計(jì)算 ,0)0(3)0(2)0(1 ??? xxx由雅可比迭代得 , )11(3)11(2)11(1 ??? xxx由高斯 塞德爾迭代得 , )6(3)6(2)6(1 ??? xxx相應(yīng)的迭代公式為 迭代法的收斂性 定義 設(shè) n 階線性方程組 的精確解為 x* bAx ?相應(yīng)的一階定常迭代格式為 )263()()1( ???? fMxx kk)( bAxfxMx ??? 等價(jià)于如果其迭代解 收斂于精確解 ，即 )(kx *x),2,1(0l i m *)( nixx ikik??????則稱迭代格式（ 326）收斂 命題 記 )273(m a x *)(1 ??? ?? ikinik xxe),2,1(0l i m *)( nixx ikik ??????則 的充分必要條件為 0lim ??? kk e定理 若一階定常迭代格式（ 326）的迭代矩陣 滿足條件 nnijmM ?? )()283(1m a x11????????njijni m則該迭代格式對任何初始向量 均收斂。,2,1()(11?? ???? ???knixabaxnjijjijiiii雅可比 （ Jacobi） 迭代 )243()2,1,0。 ),2,1(0 nkD k ???TL DLA ?L~TLLA ~~? （ 1）首先由 A 對稱正定知 ?????niin AD10?為對稱矩陣又 ),2,1(1111nkaaaaAkkkkk ??????????????????且對任何 k維非零向量 ,)(1)( Tkk xxx ?? ? 可得令 TknTkxx )00,( )(?? ?)()(0 kkTkT xAxAxx ??故 為 k 階對稱正定矩陣，所以 kA 0?? kk ADTTTTT DLULDUULDLUA ~~~)2( ????由惟一性得 TT LDLAUL ?? 所以,Tn LLALDLddddi agD~~,~),()3( 212121??? 則得令 ?證 以下推導(dǎo)平方根法和喬里斯基分解法的計(jì)算公式。 TAA ?0?x 0?Axx T定理 若 A 為對稱正定矩陣，則 (1) A的 k階順序主子式 (2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣 L和對角矩陣 D 使得 （ 316） 這稱為矩陣的 喬里斯基 （ Cholesky） 分解 。1n,2,1il/)ula(ui,2,1j?！獮樯先菫閱挝幌氯牵膶窃獎t唯一。 ???????????????? ???bLYYUXbL U XbAXLUUSAUSSASUSA 111?分解。 下面以例介紹選主元的算法思想 例 試用選主元消去法解線性方程組 ???????????????????????????????12510034510412321xxx（ 1）用全主元高斯消去法 回代解出： 1~,3~,0~123 ??? xxx還原得： 1~,0~,3~133221 ?????? xxxxxx解 ? ?? ?? ????????????????????????????????????????????????????????????????????010012340124301243010214501512034551010412)2()2()1()1(?????????????????????bAbAbA記為記為 （ 2）用全主元高斯 若當(dāng)消去法 1,0,3 321 ??? xxx故得解為 （ 3）用列主元高斯消去法 回代解得 3,0,1 123 ??? xxx? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????????????11000010300112034120345510120341041212034551010412)2()2()2()1(????????????????????bAbA記為記為???????????????????????????????????????????????????????11005510551055101041255101203412034551010412??????????????? 解線性方程組的矩陣分解法 一、 非對稱矩陣的三角分解法 )0( ?? AbAx對于給定的線性方程組 矩陣分解法的基本思想是： LUA ? （ 1） 分解 ???????????????nnnn llllllL?????21222111???????????????nnnnuuuuuuU??????22211211可逆下三角矩陣 可逆上三角矩陣 33)(),~,(),(?????AbAZAbAZUbUbAG a u s s以三階為例：上三角陣。 推論 若系數(shù)矩陣 嚴(yán)格對角占優(yōu) ， 即有 ),2,1(1niaanjijijii ??? ???),3,2(/, 1)1(1)0(11 nkDDaDa kkkkk ???? ??則消去法可行，且定理 求解 n 階線性方程組 (31) 的高斯消去法的乘除工作量約為 ，加減工作量約為 ；而高斯 若當(dāng)消去法的乘除工作量約為 ，加減工作量約為 。定理：若)n,2k(0aaaaD0aDkk1kk111k111?????????????????則消元法可進(jìn)行。 以上兩種消去法都是沿系數(shù)矩陣的主對角線元素 進(jìn)行的，即第 k次消元是用經(jīng)過前 k1次消元之后的系數(shù)陣位于（ k,k)位置的元素作除數(shù)，這時(shí)的 (k,k)位置上的元素可能為 0或非常小，這就可能引起過程中斷或溢出停機(jī)。n,1k,1k,1i(aaaa)1n。,2,1,