【正文】 1)( ?? AAAc o n d 我們先來考察常數(shù)項 b的微小誤差對解的影響。為此先引入矩陣條件數(shù)的概念。 121 ?? xx0,2 21 ?? xx定義 A或 b的微小變化 (又稱擾動或攝動 )引起方程組 Ax=b解的巨大變化，則稱方程組為病態(tài)方程組，矩陣 A稱為病態(tài)矩陣。 例 考察方程組 ???????0 0 0 0 0 22121xxxx???????20 0 0 22121xxxx和 上述兩個方程組盡管只是右端項有微小擾動 , 但解大不相同 , 第 1個方程組的解是 第 2個方程組的解是 。 兩端取范數(shù)并依據(jù)其性質(zhì) 得 (1) 設(shè) A≠0, ?x≠0, 使 Ax≠0, 根據(jù)向量范數(shù)的性 質(zhì) ??Ax?? 0, 所以 xAxAx 0m a x??0 ?x≠0, 使 ??Ax?? =0, 則 =0 當(dāng) A=0時 , 矩陣范數(shù)的性質(zhì)可由向量范數(shù)定義直接驗證 xAxAx??0m a x??AxAx ?? ?AxAxxAxAxx???? ????? 00m a xm a x∴ (2) 根據(jù)向量范數(shù)的性質(zhì) 矩陣范數(shù)的性質(zhì)可由向量范數(shù)定義直接驗證 xBxAxxxBABAxx??????? 00m a x)(m a x(3) )(m a x0 xAxxAxx???BAxBxxAxxx?????? 00m a xm a xBABA ????矩陣范數(shù)定義的另一種方法是 這是由于 同樣，矩陣范數(shù)和向量范數(shù)密切相關(guān)，向量范數(shù) 有相應(yīng)的矩陣范數(shù)，即 AxA x 1m a x??AxAxxxxAxAxAxxx100m a x1,m a xm a x???????所以有而），如 ????21(m a x1pAxA pxp p? ? 0)(2()((m ax(m ax)m a xm a x211111?????????????????AAEfAAAAAAAAAaAAaAaAnTTTTniijnjnjijninij????即的最大特征值表示其中范數(shù)）的稱為的列范數(shù)）稱為的行范數(shù)）稱為（階方陣對定理矩陣范數(shù)計算公式定義 （矩陣的譜半徑）設(shè) 的特征 值為 , 稱 為 A的 譜半徑。?? ?????*)(2*)(*)(1 xxCxxxxCkkk于是可得 0l i m0l i m *)(*)( ????? ????? xxxx kkkk從而定理得證。 *)(lim xx kk ???? 0lim *)( ???? xx kk ? 設(shè) x*為 Ax=b的精確解， x為其近似解，則其絕對誤差可表示成 ||x x* ||，其相對誤差可表示成 的特例范數(shù)上述范數(shù)都是 pnipip xXp11)||(|||| ???記筆記 向量和矩陣的范數(shù) **xxx?xxx *?或 yxyxyyxyyxxyxyxxxxxxx?????????????????)()3()2(101:證時，當(dāng)）（具有以下性質(zhì)向量范數(shù)例 證明對任意同維向量 x , y 有 yxyx ???證： yxyx ???xyxxxyy ?????? )(yxxy ???即 yxyx ????yxyx ???例 設(shè) x=(1, 0, 1, 2)T, 計算 21 , xxx ?解 : =1+0+|1|+2=4 1x62)1(01 22222 ??????x2)2,1,0,1m a x ( ????x定理 對于任意向量 x ,有 證 : ∵ ??? ? xx pplimini xx ??? ? 1m a x? ? ? ? ppinipnipippini xnxxx111111m a xm a x??????????????? ?∴ 即 ?? ?? xnxxpp1當(dāng) p→∞ ， 11 ?pn??? ? xx ppli m∴ 定義 ( 向量序列的極限 ) 設(shè) 為 中的 一向量序列， , 記 。 向量和矩陣的范數(shù) 2x? 當(dāng)不需要指明使用哪一種向量范數(shù)時，就用記號 ||.||泛指任何一種向量范數(shù)。 記筆記 向量和矩陣的范數(shù) 定義 對任一向量 X?Rn, 按照一定規(guī)則確定一個實 數(shù)與它對應(yīng) , 該實數(shù)記為 ||X||, 若 ||X||滿足下面三個 性質(zhì) : (1) ||X||?0； ||X||=0當(dāng)且僅當(dāng) X=0； (2) 對任意實數(shù) ?， || ? X||=| ? | ||X||； (3) 對任意向量 Y?Rn， ||X+Y|| ? ||X||+||Y|| 則稱該實數(shù) ||X||為向量 X的 范數(shù) 在 Rn中，常用的幾種范數(shù)有： 記筆記 |}{|m ax|}|| , . . . ,||,m ax { |||||)(...||||||||...||||||X||12121122222121211ininniinniinxxxxXxxxxXxxxx???????????????????其中 x1,x2, … ,xn分別是 X的 n個分量。向量范 數(shù)是用來度量向量長度的 ,它可以看成是二、 三維解析幾何中向量長度概念的推廣。 6/3n 追趕法 在數(shù)值計算中 ,有一種系數(shù)矩陣是三對角方程組 ??????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnfffffxxxxxbacbacbacbacb1321132111133322211?????簡記為 Ax=f,A滿足條件 （ 1） （ 2） （ 3） 011 ?? cb)1,3,2,0( ????? nicacab iiiii ?0?? nn ab 用歸納法可以證明，滿足上述條件的三對角線性方程組的系數(shù)矩陣 A非奇異，所以可以利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)解三對角線性方程組的計算公式，用克洛特分解法，將 A分解成兩個三角陣的乘積，設(shè) A=LU ?????????????????????????????????????????????11112122111122211nnnnnnnnuuulalalbacbacbacb?????按乘法展開 ?????????????? 1,2,111111niluabulclbiiiiiii??????????????? 1,2,1/11111niuabllcubliiiiiii?nn luulul ?????? ? 12211 ?則可計算 可依次計算 當(dāng)， 由上式可惟一確定 L和 U。為避免開方運算，我們改用單位三角陣作為分解陣，即把對稱正定矩陣 A分解成 TL D LA ? 的形式，其中 ?????????????ndddD?21為對角陣，而 ?????????????????1111321323121?????nnnllllllL 是單位下三角陣 ,這里分解公式為 ????????????????????11211,2,11,2,1/)(ikikkiiijkjjkikkijijnildadijdlldal??據(jù)此可逐行計算 運用這種矩陣分解方法 ,方程組 Ax=b即 可歸結(jié)為求解兩個上三角方程組 ??????? 332312211 dlldldbxDLL T ?)(bLy ?bDxL T 1??和 其計算公式分別為 ??????11,2,1ikkikii niylby ?和 ???????nikkkiiii nnixldyx11,1,/ ?求解方程組的上述算法稱為改進(jìn)的平方根法。 211 LDL ?將 A=LLT展開，寫成 ?????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnllllllllllllaaaaaaaaa???????????????22212111212221112122221111111按矩陣乘法展開，可逐行求出分解矩陣 L的元素，計算公式是對于 i=1,2,… ,n 21112 )( ?????ikikiiii laliiikikjkjiji lllal?????11j=i+1, i+2,… ,n 這一方法稱為 平方根法 ,又稱 喬累斯基 (Cholesky)分解 ,它所需要的乘除次數(shù)約 為數(shù)量級 ,比 LU分解節(jié)省近一般的工作量。矩陣的這一特性使它的三角分解也有更簡單的形式，從而導(dǎo)出一些特殊的解法，如平方根法與改進(jìn)的平方根法。 用直接三角分解法解 Ax=b大約需要 次乘除法。 設(shè) A=LU為 ?????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnuuuuuulllaaaaaaaaa???????????????2221121121212122221111111111 由矩陣乘法規(guī)則 niua ii ,2,111 ???niula ii ,3,21111 ??? 由此可得 U的第 1行元素和 L的第 1列元素 niau ii ,2,111 ???niual ii ,3,21111 ??? 再確定 U的第 k行元素與 L的第 k列元素 ,對于 k=2,3, … ,n計算： ① 計算 U的第 k行元素 ?????11krrjkrkjkj ulau（ j=k,k+1,… ,n） ② 計算 L的第 k列元素 kkkrrkirikik uulal?????