【正文】 我們應針對不同的實際問題 ，采用適當的數值算法。有時也可邊計算邊觀察其收斂性。使用迭代法的 關鍵問題是其收斂性與收斂速度，收斂性與迭代 初值的選取無關，這是比一般非線性方程求根的 優(yōu)越之處。注意到在使用迭代法 解方程組時，其迭代矩陣 B和迭代向量 f在計算過 程中始終不變 ,迭代法具有循環(huán)的計算公式 ,方法 簡單，程序實現方便，它的優(yōu)點是能充分利用系 數的稀疏性 ,適宜解大型稀疏系數矩陣的方程組。 證 : 設 C= (1 ?)I+ ?B, ?(C)和 ?(B)分別為 C和 B 的特征值，則顯然 ?(C) =(1 ?)+ ? ?(B) 因為 0?1, ?(C) 是 1和 ?(B) 的加權平均 , 且由迭代法 x(k+1)=Bx(k)+g ( k=0,1, 2, ……) 收斂知 |?(B)|1, 故 |?(C)|1, 從而 ?(C)1, 即 x(k+1)=[(1 ?)I+ ?B]x(k)+ ?g ( k=0,1, 2, …) 收斂 k=0,1, …… 本章小結 本章介紹了解線性方程組 迭代法的 一些基本理論和具體方法。 也可用矩陣的譜半徑p(GS)1來討論 解： 先計算迭代矩陣 例 討論用 雅可比迭代法和 高斯 塞德爾迭代 法解線性方程組 Ax=b的收斂性。 解 ① Jacobi迭代公式和 Jacobi矩陣分別為 ???????2211212 bxaxbaxx?????????????2)(1)1(21)(2)1(12bxaxbaxxkkkk??????????? 020aaG J 例 方程組 ② 寫出解方程組的 GaussSeidel迭代矩陣 ， 并討論 迭代收斂的條件 。 當時 ?a?1時 ,Jacobi矩陣 ??GJ??∞ 1,對初值 x(0)均收斂 例 設 方程組 ① 寫出解方程組的 Jacobi迭代公式和迭代矩陣 并討論迭代收斂的條件 。 分析 :根據 A， B和單位矩陣 I之間的特征值的關系導出 ?(?)1, 從而說明迭代格式收斂。 AD 1?定理 對角占優(yōu)線性方程組 的雅可比 迭代公式和高斯 賽德爾迭代公式均收斂 。 定理 設 n階方陣 為對角占優(yōu)陣 , 則 非奇異 證 : 因 A為對角占優(yōu)陣 , 其主對角元素的絕對值大 于同行其它元素絕對值之和 , 且主對角元素 全不為 0, 故對角陣 為非奇異 。故 收斂于 0, 收斂于 由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯 — 塞德爾迭代法還是超松弛迭代法，它們收斂的 充要條件是其迭代矩陣的譜半徑 。 對于方程組 經過等價變換構造出的等價方程組 bAx ?),1,0()()1( ????? kdGxx kk在什么條件下迭代序列 收斂？先引入 如下定理 ? ?)(kx定理 對給定方陣 G, 若 ,則 為非奇異矩陣 ,且 1?G GI ?GGI ????111）（證 :用反證法 ,若 為奇異矩陣 ,則存在非零向 量 x, 使 ,即有 由相容性條件得 GI ?0)( ?? xGI Gxx ?xGGxx ?? 由于 ,兩端消去 ,有 ,與已知條件 矛盾 ,假設不成立 ,命題得證。 超松弛迭代法的矩陣表示 設線性方程組 的系數矩陣 A非奇異 ,且主對角元素 ,則將 A分裂成 A=L+D+U, 則超松弛迭代公式用矩陣表示為 b Ax?),2,1(0 nia ii ???)()1( )()1(1)()1( kkkk UxLxbDxx ????? ??? ??)()1( )()1()()1( kkkk UxLxbDxDx ????? ?? ??或 ? ? bxUDxLD kk ???? ????? ? )()1( )1()(故 顯然對任何一個 ω 值 ,(D+ω L)非奇異 ,(因為假設 )于是超松弛迭代公式為 nia ii ,2,1,0 ???? ? bLDxUDLDx kk 1)(1)1( )()1()( ??? ?????? ?????? ?UDLDL ???? ???? ? )1()( 1令bLDf 1)( ??? ???則超松弛迭代公式可寫成 ?? fxLxkk ??? )()1(例 用 SOR法求解線性方程組 ?????????????????7910431017210424321321321xxxxxxxxx取 ω=， 要求 6)()1( 10 ??? ?? kk xx解： SOR迭代公式 ???????????????????????????????)1047(9)1()1023(17)1()4210(4)1()1(2)1(1)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx??????k = 0,1,2,… ， 初值 Tx )0,0,0()0( ?該方程組的精確解 只需迭代 20次便可達到精度要求 Tx )1,1,2(( * ) ??如果取 ω=1(即高斯 — 塞德爾迭代法 )和同一初 值 ,要達到同樣精度 , 需要迭代 110次 Tx )0,0,0()0( ? 迭代法的收斂性 我們知道 , 對于給定的方程組可以構造成簡單迭代公式、雅可比迭代公式、高斯 塞德爾迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收斂。 當 0ω 1時，低松弛法；當 1ω 2時稱為超松弛法。 ),...,2,1(,11)(11)1( nixaxabanijkjijijkjijiii??????? ??? ???????)1(~ ?kix⑵ 把 取為 與 的加權平均，即 )1( ?kix )(kix )1(~ ?kix)~(~)1( )()1()()1()()1( kikikikikiki xxxxxx ?????? ??? ???合并表示為： )()1(1)()1(11)()1( ???????? ?????nijkjijkjijijiiikiki xaxabaxx??式中系數 ω 稱為 松弛因子 ，當 ω =1時，便為高斯 塞德爾迭代法。是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一，有著廣泛的應用。 超松弛迭代法目的是為了提高迭代法的收斂速度，在高斯 — 塞德爾迭代公式的基礎上作一些修改。因此，迭代過程的加速具有重要意義。 高斯 塞德爾迭代算法的 程序實現 ( 見附錄 A A7 用高斯 — 塞德爾迭代法求解線 性方程組 ） ix)1( ?kix )1( ?kix)(kix 超松弛迭代法（ SOR方法） 使用迭代法的困難在于難以估計其計算 量。即 ??????????????????????????????????)(1)(1)(1)(11)(22)(11)1(2)(2)(323)(121