【文章內(nèi)容簡介】 L ???? ???? ? )1()( 1令bLDf 1)( ??? ???則超松弛迭代公式可寫成 ?? fxLxkk ??? )()1(例 用 SOR法求解線性方程組 ?????????????????7910431017210424321321321xxxxxxxxx取 ω=， 要求 6)()1( 10 ??? ?? kk xx解： SOR迭代公式 ???????????????????????????????)1047(9)1()1023(17)1()4210(4)1()1(2)1(1)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx??????k = 0,1,2,… ， 初值 Tx )0,0,0()0( ?該方程組的精確解 只需迭代 20次便可達(dá)到精度要求 Tx )1,1,2(( * ) ??如果取 ω=1(即高斯 — 塞德爾迭代法 )和同一初 值 ,要達(dá)到同樣精度 , 需要迭代 110次 Tx )0,0,0()0( ? 迭代法的收斂性 我們知道 , 對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造成簡單迭代公式、雅可比迭代公式、高斯 塞德爾迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收斂。現(xiàn)在分析它們的收斂性。 對(duì)于方程組 經(jīng)過等價(jià)變換構(gòu)造出的等價(jià)方程組 bAx ?),1,0()()1( ????? kdGxx kk在什么條件下迭代序列 收斂？先引入 如下定理 ? ?)(kx定理 對(duì)給定方陣 G, 若 ,則 為非奇異矩陣 ,且 1?G GI ?GGI ????111）（證 :用反證法 ,若 為奇異矩陣 ,則存在非零向 量 x, 使 ,即有 由相容性條件得 GI ?0)( ?? xGI Gxx ?xGGxx ?? 由于 ,兩端消去 ,有 ,與已知條件 矛盾 ,假設(shè)不成立 ,命題得證。 又由于 有 0?x x 1?GIGIGI ??? ? 1))((IGIGGI ???? ?? 11 )()(即 11 )()( ?? ???? GIGIGI將 G分別取成 G和 G， 再取范數(shù) 11 )()( ?? ???? GIGIGI又已知 ， 有 1?G GGI ??? ? 1 1)( 1定理 迭代公式 收斂 的充分必要條件是迭代矩陣 G的譜半徑 證 :必要性 設(shè)迭代公式收斂 ,當(dāng) k→∞ 時(shí) , 則在迭代公式兩端同時(shí)取極限得 記 ,則 收斂于 0(零向量 ),且有 ),1,0()()1( ????? kdGxx kk1)( ?G?*)( xx k ?dGxx ?? ***)()( xxe kk ?? )(ke)1(*)1(*)1(*)()( )()( ??? ????????? kkkkk GexxGdGxdGxxxe)0()2(2)1()( eGeGGee kkkk ???? ?? ?于是 由于 可以是任意向量 ,故 收斂于 0當(dāng)且僅 當(dāng) 收斂于零矩陣，即當(dāng) 時(shí) )0(e )(kekG ??k 0?kG0))(()( ??? kkk GGG ??于是 所以必有 1)( ?G?充分性 : 設(shè) , 則必存在正數(shù) ε, 使 則存在某種范數(shù) ?? ? ??, 使 , ,則 , 所以 , 即 。故 收斂于 0, 收斂于 由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯 — 塞德爾迭代法還是超松弛迭代法，它們收斂的 充要條件是其迭代矩陣的譜半徑 。 1)( ?G? 1)( ?? ?? G1)( ??? ?? GGkkk GGG ))(( ?? ??? 0))((lim ????kk G ??0lim ??? kk G 0lim ??? kk G )(ke)(kx *x1)( ?G? 事實(shí)上 , 在例 , 迭代矩陣 G= ， 其特征多項(xiàng)式為 ,特征值為 2， 3， , 所以迭代發(fā)散 ?????????421165)d et ( 2 ???? ??? GI13)( ??G?定理 (迭代法收斂的充分條件 ) 若迭代矩陣 G的一種范數(shù) ,則迭代公式 收斂 ,且有誤差估計(jì)式 ,且有誤差估計(jì)式 1?G),1,0()()1( ????? kdGxx kk)1()()(1?? ????kkk xxGGxx)0()1()(1xxGGxx kk ?????及 證 : 矩陣的譜半徑不超過矩陣的任一種范數(shù) ,已知 ,因此 ,根據(jù)定理 迭代公式收斂 1?G 1)( ?G?又因?yàn)? , 則 det (IG )≠0, IG為非奇異矩陣 , 故 x＝ Gx＋ d有惟一解 , 即 與迭代過程 相比較 , 有 兩邊取范數(shù) 1?G*x dGxx ?? **dGxx kk ??? )()1()( )1(*)(* ???? kk xxGxx)1(*)(* ???? kk xxGxx)1()()(* ????? kkk xxxxG)1()()(* ????? kkk xxGxxG)1()()(*)1( ????? kkk xxGxxG)1()()(*1????? kkk xxGGxx∴ 由迭代格式，有 )()()( )0()1(1)2()1(2)2()1()1()( xxGxxGxxGxx kkkkkkk ???????? ?????? ?兩邊取范數(shù)，代入上式，得 )0()1()(*1 xxGGxx kk ????證畢 由定理知，當(dāng) 時(shí)，其值越小，迭代收斂越快，在程序設(shè)計(jì)中通常用相鄰兩次迭代 （ ε 為給定的精度要求）作為 控制迭代結(jié)束的條件 1?G??? ? )1()( kk xx例 已知線性方程組 ??????????????6612363311420238321321321xxxxxxxxx考察用 Jacobi迭代和 GS迭代求解時(shí)的收斂性 解 : ⑴ 雅可比迭代矩陣 ?????????????????????????????????????????????????01231261110114828300003332333122232221111311121aaaaaaaaaaaaADIB1129129,115,85ma x ??????????B故 Jacobi迭代收斂 ⑵ 將系數(shù)矩陣分解 ????????????????????????????????????01023003604012118ULDA則高斯 塞