ch4線性代數(shù)方程組的迭代解法-資料下載頁
2024-12-23 12:23本頁面
【正文】 ?1=0,?2 =2,?3 =2 ?(G1)=21 ∴ 用高斯 塞德爾迭代 法求解時，迭代過程發(fā)散 0)2(20032022200320220)(2111??????????????????????????????? GIULDG高斯 塞德爾迭代矩陣 求特征值 ∴ Ax=b的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對角占優(yōu) ,故 高斯 塞德爾迭代收斂 例 設(shè)有迭代格式 X(k+1)=B X(k) +g (k=0,1,2…… ） 其中 B=IA, 如果 A和 B的特征值全為正數(shù)， 試證：該迭代格式收斂。 分析 :根據(jù) A， B和單位矩陣 I之間的特征值的關(guān)系導(dǎo)出 ?(?)1, 從而說明迭代格式收斂。 證 : 因?yàn)?B=IA, 故 ?(B)= ?(I) ?(A)=1 ?(A) ?(A) + ?(B) = 1 由于已知 ?(A) 和 ?(B)全為正數(shù)，故 0?(B)1 ,從而 ? (B) 1 所以該迭代格式收斂。 當(dāng)時 ?a?1時 ,Jacobi矩陣 ??GJ??∞ 1,對初值 x(0)均收斂 例 設(shè) 方程組 ① 寫出解方程組的 Jacobi迭代公式和迭代矩陣 并討論迭代收斂的條件 。 ② 寫出解方程組的 GaussSeidel迭代矩陣 ,并討 論迭代收斂的條件 。 解 ① Jacobi迭代公式和 Jacobi矩陣分別為 ???????2211212 bxaxbaxx?????????????2)(1)1(21)(2)1(12bxaxbaxxkkkk??????????? 020aaG J 例 方程組 ② 寫出解方程組的 GaussSeidel迭代矩陣 ， 并討論 迭代收斂的條件 。 解 ② GaussSeidel矩陣為 ???????2211212 bxaxbaxx????????????????????????????? ?2000021201)( 21 aaaaULDGS當(dāng)時 ?a?1時 , GaussSeidel矩陣 ??Gs??∞ 1, 所以對任意初值 x(0)均收斂。 也可用矩陣的譜半徑p(GS)1來討論 解： 先計(jì)算迭代矩陣 例 討論用 雅可比迭代法和 高斯 塞德爾迭代 法解線性方程組 Ax=b的收斂性。 ???????????????????????????????024211121112321xxx??????????????????????024211121112bA0)1()12(412121212121213??????? ?????? BI求特征值 雅可比矩陣 ? ( B ) = 1 ∴ 用 雅可比迭代法求解時，迭代過程不收斂 ??????????????????????????????????????????????????0212121021212100003312333122232221111311121aaaaaaaaaaaaADIB?1 = 1， ?2,3 = 1/2 求特征值 高斯 塞德爾迭代矩陣 0)15(8183810414102121838108141021210)(2111???????????????????????????????????????? GIULDG ? (G1) = 1 ∴ 用高斯 塞德爾迭代 法求解時，迭代過程收斂 16753,2i????1=0, 求解 AX=b,當(dāng) ?取何 值時迭代收斂？ 解 :所給迭代公式的迭代矩陣為 例 給定線性方程組 AX= b 用迭代公式 X(K+1)=X(K)+?(bAX(K)) (k=0,1,… ） 3 2 3,1 2 1Ab? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?1 3 212( 1 3 ) 20( 1 2 )B I AIB?????? ? ??? ? ?????? ? ? ??????????? ? ???????即 ?2(25 ?)?+1 5 ?+4 ?2=0 ?2(25 ?)?+(1 ? )(14?)=0 [?(1?)][? (14?)]=0 ?1=1? ?2=14? ?(B)=max{|1 ?|, |14?|}1 取 0 ?1/2迭代收斂 例 設(shè)求解線性方程組 Ax=b的簡單迭代法 x(k+1)=Bx(k)+g ( k=0,1, 2, ……) 收斂 , 求證 : 對 0?1, 迭代法 x(k+1)=[(1 ?)I+ ?B]x(k)+ ?g ( k=0,1, 2, …) 收斂。 證 : 設(shè) C= (1 ?)I+ ?B, ?(C)和 ?(B)分別為 C和 B 的特征值，則顯然 ?(C) =(1 ?)+ ? ?(B) 因?yàn)?0?1, ?(C) 是 1和 ?(B) 的加權(quán)平均 , 且由迭代法 x(k+1)=Bx(k)+g ( k=0,1, 2, ……) 收斂知 |?(B)|1, 故 |?(C)|1, 從而 ?(C)1, 即 x(k+1)=[(1 ?)I+ ?B]x(k)+ ?g ( k=0,1, 2, …) 收斂 k=0,1, …… 本章小結(jié) 本章介紹了解線性方程組 迭代法的 一些基本理論和具體方法。迭代法是一種逐次逼 近的方法，即對任意給定的初始近似解向量，按 照某種方法逐步生成近似解序列，使解序列的極 限為方程組的解。注意到在使用迭代法 解方程組時，其迭代矩陣 B和迭代向量 f在計(jì)算過 程中始終不變 ,迭代法具有循環(huán)的計(jì)算公式 ,方法 簡單，程序?qū)崿F(xiàn)方便，它的優(yōu)點(diǎn)是能充分利用系 數(shù)的稀疏性 ,適宜解大型稀疏系數(shù)矩陣的方程組。 bAx ?fBxx kk ??? )()1( 迭代法不存在誤差累積問題。使用迭代法的 關(guān)鍵問題是其收斂性與收斂速度，收斂性與迭代 初值的選取無關(guān)，這是比一般非線性方程求根的 優(yōu)越之處。在實(shí)際計(jì)算中，判斷一種迭代格式收 斂性較麻煩，由于求迭代的譜半徑時需要求特征 值，當(dāng)矩陣的階數(shù)較大時，特征值不易求出，通 常采用矩陣的任一種范數(shù)都小于 1或?qū)钦純?yōu)來判 斷收斂性。有時也可邊計(jì)算邊觀察其收斂性。如 何加快迭代過程的收斂速度是一個很重要的問題 ，實(shí)用中更多的采用 SOR法，選擇適當(dāng)?shù)乃神Y因子 ω 有賴于實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。我們應(yīng)針對不同的實(shí)際問題 ，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值算法。 本章作業(yè) ~
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