【正文】 ????????????????????)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx?????????????????)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 雅可比迭代 令 取四位小數(shù)迭代計(jì)算 ,0)0(3)0(2)0(1 ??? xxx由雅可比迭代得 , )11(3)11(2)11(1 ??? xxx由高斯 塞德爾迭代得 , )6(3)6(2)6(1 ??? xxx相應(yīng)的迭代公式為 迭代法的收斂性 定義 設(shè) n 階線性方程組 的精確解為 x* bAx ?相應(yīng)的一階定常迭代格式為 )263()()1( ???? fMxx kk)( bAxfxMx ??? 等價(jià)于如果其迭代解 收斂于精確解 ，即 )(kx *x),2,1(0l i m *)( nixx ikik??????則稱迭代格式（ 326）收斂 命題 記 )273(m a x *)(1 ??? ?? ikinik xxe),2,1(0l i m *)( nixx ikik ??????則 的充分必要條件為 0lim ??? kk e定理 若一階定常迭代格式（ 326）的迭代矩陣 滿足條件 nnijmM ?? )()283(1m a x11????????njijni m則該迭代格式對(duì)任何初始向量 均收斂。 。 ???????? fxMxfxMxkk )()1(**由),2,1()(11*)(1*)(*)1(nieemxxmxxmxxkknjijnjjkjijnjjkjijiki?????????????????相減得 ????????????????ikjnjijkiijnjijifxmxfxmx)(1)1(*1*即則該迭代格式對(duì)任何初始向量 均收斂。 TAA ?0?x 0?Axx T定理 若 A 為對(duì)稱正定矩陣，則 (1) A的 k階順序主子式 (2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣 L和對(duì)角矩陣 D 使得 （ 316） 這稱為矩陣的 喬里斯基 （ Cholesky） 分解 。 下面以例介紹選主元的算法思想 例 試用選主元消去法解線性方程組 ???????????????????????????????12510034510412321xxx（ 1）用全主元高斯消去法 回代解出： 1~,3~,0~123 ??? xxx還原得： 1~,0~,3~133221 ?????? xxxxxx解 ? ?? ?? ????????????????????????????????????????????????????????????????????010012340124301243010214501512034551010412)2()2()1()1(?????????????????????bAbAbA記為記為 （ 2）用全主元高斯 若當(dāng)消去法 1,0,3 321 ??? xxx故得解為 （ 3）用列主元高斯消去法 回代解得 3,0,1 123 ??? xxx? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????????????11000010300112034120345510120341041212034551010412)2()2()2()1(????????????????????bAbA記為記為???????????????????????????????????????????????????????11005510551055101041255101203412034551010412??????????????? 解線性方程組的矩陣分解法 一、 非對(duì)稱矩陣的三角分解法 )0( ?? AbAx對(duì)于給定的線性方程組 矩陣分解法的基本思想是： LUA ? （ 1） 分解 ???????????????nnnn llllllL?????21222111???????????????nnnnuuuuuuU??????22211211可逆下三角矩陣 可逆上三角矩陣 33)(),~,(),(?????AbAZAbAZUbUbAG a u s s以三階為例：上三角陣。n,1k,1k,1i(aaaa)1n。n,2i(aaaa)1n,2j(a/aa)b,A)1(j1)0(1i)0(ij)1(ij)0(11)0(j1)1(j1)1()1( ：中個(gè)元素的計(jì)算公式為對(duì)于（。其思想是首先把線性方程組 (31)等價(jià)變換為如下形式的方程組： 數(shù)值解法主要有兩大類 ： )23( ??? fxMx??????????????????????????????? ?nnnnnnnnnijffffmmmmmmmmmmM????????21212222111211)( ，其中然后構(gòu)造迭代格式 )33(1 ???? fxMx kk這稱為 一階定常迭代格式 ， M 稱為 迭代矩陣 。 第二類是 迭代法 。個(gè)元素變?yōu)?，其余各行的第一位置變?yōu)檫@樣，倍，減去第一行對(duì)應(yīng)元素的行元數(shù)（后用第然）的第一行個(gè)元素除以第一步：對(duì)（01a),n,2i(a)n,2ii,ab,A)0(11)0(1i)0(11)0()0(?????????????????????????????????????????)0(1nn)0(nn)0(3n)0(2n)0(1n)0(1n2)0(n2)0(23)0(22)0(21)0(11)0(1n1)0(11)0(n1)0(11)0(13)0(11)0(12)0()0(aaaaaaaaaaa/aa/aa/aa/a1)b,A(???????????????????????????????????????????)1(1nn)0(1n)0(1nn)1(nn)0(1n)0(nn)1(3n)0(1n)0(3n)1(2n)0(1n)0(2n)1(1n1)0(21)0(1n2)1(n1)0(21)0(n2)1(13)0(21)0(23)1(12)0(21)0(22)1(1n1)1(n1)1(13)1(12aaaaaaaaaaaa0aaaaaaaaaaaa0aaaa1)b,A(aaa0aaa0aaa1)1()1()1(1nn)1(nn)1(2n)1(1n2)1(n2)1(22)1(1n1)1(n1)1(12?????????????????????????????????記為??????????????????????)1n,2j。 因?yàn)? ? ???????????????????????????????????????????????010020211001542180328524????????????? bA? ?Tx 021, ?解所以解 一般公式： ?????????????????????????)1n,1kj。 3/3n 3/3n2/3n 2/3n由式（ 34）知，高斯消去法在消元過(guò)程中第 k步的工作量為 1)(2)()1)(()1(: 2 ??????????? knknknknkn乘除)()()1)((: 2 knknknkn ???????加減所以，消元過(guò)程的總工作量為 nnnnnnnnnnmmknmknknnmnk61231)1(