計(jì)算方法課件第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法-展示頁
2025-05-21 02:00本頁面
【正文】 2aaaaaaaaaaaa0aaaaaaaaaaaa0aaaa1)b,A(aaa0aaa0aaa1)1()1()1(1nn)1(nn)1(2n)1(1n2)1(n2)1(22)1(1n1)1(n1)1(12?????????????????????????????????記為??????????????????????)1n,2j。行第二個元素為，從第三行后的各位置變?yōu)檫@樣，倍，減去第二行對應(yīng)元素的行元數(shù)（后用第然）第二行各元素除以第二步：對（01a),n,2i(a)n,3ii,ab,A)1(22)1(2i)1(22)1()1(????????????????????????????????????????????)1(1nn)1(3n)1(2n)1(1n3)1(33)1(32)2(1n2)2(23)1(1n1)1(13)1(12aaa0aaa0aa10aaa1）（記為)2()2()2(1nn)2(3n)2(1n3)2(33)2(1n2)2(23)1(1n1)1(13)1(12b,Aaa00aa00aa10aaa1???????????????????????????????????????????????????????????)1n,3j。n,1ki(aaaa)1n,1kj(a/aa)b,A)j(kj)1k(ik)1k(ij)k(ij)1k(kk)1k(kj)k(kj)k()k(：中個元素的計(jì)算公式為對于（ 第 n步： 得到： 消去過程?????????????????????????????)1(1n1)2(1n2)2(n2)2(23)1(1n1)1(n1)1(13)1(12a1aaa1aaaa1 經(jīng)過上述 n步過程后，原系數(shù)矩陣 A變?yōu)橐粋€單位上三角 矩陣，即原方程組化為一個和它完全等價的三角形方程組， 即 ?????????????????????????????????????????2)1(2,11n)1(1n,1n)1(n,1)1(1n,113)2(3,21n)2(1n,2n)2(n,2)2(1n,22n)1n(n,2)1n(1n,1n1n)n(1nnnxaxaxaaxxaxaxaaxxaaxax高斯消去法 ： （ 1）消元過程 ： 對 k=1,2, …, n 依次計(jì)算 )43()1n,1kj。,2k,1kj(a/aa)k(jk)1k(ki)1k(ji)k(ji)1k(kk)1k(jk)k(jk ?????????????????????????? (2) 回代過程 ： )53()1,1n,nk(xaaxaxn1kjj)k(jk)k(1nkk)n(1nnn??????????????????? 例 試用高斯消去法求解線性方程組 ?????????????542832852432121321xxxxxxxx? ????????????????????????????????????????????????0100542180328524bA?????????????消元過程為 解 即把原方程組等價約化為 ???????????0332321xxxxxx據(jù)之回代解得 ????????120123xxx為了避免回代的計(jì)算，我們可在消元過程中直接把系數(shù)矩陣 A約化為單位矩陣 I， 從而得到解，即 ? ? ? ?xIbA ?? ??? ?? 行初等變換相應(yīng)地，計(jì)算公式可表述為： 依次計(jì)算對 ,2,1 nk ??)63()1,1。 因?yàn)? ? ???????????????????????????????????????????????010020211001542180328524????????????? bA? ?Tx 021, ?解所以解 一般公式： ?????????????????????????)1n,1kj。,2k,1kj(a/aa)k(jk)1k(ki)1k(ji)k(ji)1k(kk)1k(jk)k(jk??? 高斯約當(dāng)消去法是一個具有消去過程而無回代過程的算法。因此： 則消元法可進(jìn)行。嚴(yán)格對角占優(yōu)，即推論：若)n,2,1i(aaAnij1jijii????? ??? 消去法的可行性和計(jì)算工作量 定理 如果的各階順序主子式均不為零，即有 ),3,2(0,01111111 nkaaaaDaDkkkkk ??????????即消去法可行。 3/3n 3/3n2/3n 2/3n由式（ 34）知，高斯消去法在消元過程中第 k步的工作量為 1)(2)()1)(()1(: 2 ??????????? knknknknkn乘除)()()1)((: 2 knknknkn ???????加減所以，消元過程的總工作量為 nnnnnnnnnnmmknmknknnmnk61231)1(612131)]2([]1)(2)[(:2323112212????????????????? ?????乘除nnnnnnnmmknknnmnk3131)1(21612131)()]()[(:32311212???????????? ?????加減證 回代過程中的乘除和加減工作量均為 )1(2111?????nnini總工作量為 32323313131)1(21612131: nnnnnnnnn ????????乘除32333165231)1(213131: nnnnnnnn ???????加減類似可得，高斯 若當(dāng)消去法的工作量為 22122)1(1)1()]1)(1()1[(:323111nnnnnnmnknmknnknnknnmnknk??????????????????????? ??????乘除22122)1()1()1)(1(: 331nnnnnnknnnk???????????加減例 試用高斯 若當(dāng)消去法求解如下矩陣方程 ???????????????????????????????????3332312322211312117761061532,232143012,xxxxxxxxxXBABAX因?yàn)? ? ??????????????????????????????????????????????????0121001100102110012442207762321061143532021?????????? BA???????????012110211X所以解 $2 選主元素的消去法 主元素的選取通常采用兩種方法，一種是 全主元消去法 ,另一種是 列主元消去法 。等行變換使其變?yōu)閱挝贿M(jìn)行初即對化成三角形方程組，亦也就是說將單位三角陣消去法：單位上三角陣???? UbUZSbS A Z ,~??????????????????????????????????????????????????????????10001000/110010011000/1000110010001/100010001)0(11)0(31)0(21)1(22)1(32)2(33aaaaaaS顯見 S是一個可逆的下三角陣 —— 解兩個三角形方程組?！獮閱挝簧先菫橄氯?，分解。或分解不唯一，但規(guī)定了注：均為下，上三角陣）則的各階順序主子式定理：若C r o u tULD o o l it tleULULULLUAnkDAk.2.1,(),2,1(0??????Crout分解 （以四階為例） ??????????????44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa???????????????1000u100uu10uuu1U342423141312?????
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