【正文】 定義在閉區(qū)間 [a,b]上的所有連續(xù)函數的集合 C[a,b]是一個線性空間 ， 則 C[a,b]的積分運算是線性變換 。 ],[)(,)())(( baCxfdxxfxfT xa ?? ?線性映射（變換） 有以下性質： WVT ?:。)()1( WVT ?? ?。)()()2( ?? TT ???（ 3） T將 V中的線性相關向量組映射為 W中的線性相關向量組，但把線性無關向量組不一定映射為 W中的線性無關向量組； （ 4）設 則 ,1 VV ? ,)( 1 WVT ?并且 .d im)(d im 11 VVT ?線性變換的值域與核 設 T是 n維線性空間 V的一個線性變換，定義 T的值域 R(T)與核 N (T)分別為 },{)( VxTxyTR ???設 A是 n階矩陣， A的值域 R(A)與核 N (A)分別為 }0:{)(},{)(??????AxRxANRxAxyARnn}0:{)( ??? TxVxTNT的全體像組成的集合 零向量原像組成的集合 實例 求導運算 T在多項式空間 C n [x]上的值空間 R(T)與核空間 N (T)分別為 注： C n [x]?R(T)+N(T) R(T)=L{1 , x , x2 , … , x n1 } N(T)={ 1 } （ 1） T的值域 R(T)與核 N (T)都是 V的子空間； （ 3） dim(R(T))+dim(N(T))=n. 則 ),()()2( 21 nTTTLTR ??? ??定理：設 T是 n維線性空間 V的一個線性變換， 是 n維線性空間 V的基 ， n??? , 21 ?分別稱為象子空間，核子空間； 象子空間的維數 dim R(T) 稱為 T的秩，核子空間的維數稱為 T的零度（或虧） 設 T是 n維線性空間 V的一個線性變換， 是 n維線性空間 V的基， n??? , 21 ????????????????????nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT??????????????????22112222112212211111ATTT nnn ),(),(),( 21121 ???????? ??? ??稱 A為 T在基 下的矩陣。 n??? , 21 ?二、線性變換的矩陣表示 （ 2）給定 n維線性空間 V的基后， V上的線性變換與 n階矩陣之間存在一一對應關系。 基向量的象可以被基線性表出，即 nnijaA ?? )(記說明 （ 1） 矩陣 A的第 i列恰是 的坐標； iT?（ 4）設 n維線性空間 V的一個線性變換 T在基 n??? , 21 ?下的矩陣為 ,)(nnijaA ??? ? , 21 Tnxxx ??且向量 在該基下的坐標 為 ? ? ., 21 TnxxxA ??T則 在該基下的坐標為 是 n維線性空間 V的基， n??? , 21 ?（ 3）設 T1， T2是 n維線性空間 V的兩個線性變換， T1， T2在該基 ,BA下的矩陣為 則 T1+T2， kT1,T1T2， T1在該基下 矩陣分別為 1, ?? AABkABA（ 5）設 是純量多項式， T mmmm atatatatf ????? ?? 1110)( ?為 V中的線性變換，且對 V的基 有 n??? , 21 ?ATTT nnn ),(),(),( 21121 ???????? ??? ??則 V的線性變換 f(T)在該基下的矩陣為： ,)( 1110 IaAaAaAaAf mmmm ????? ?? ?其中 f(A)稱為矩陣 A的多項式。 例 試確定在多項式空間 Pn [x]上的求導運算 T分別在下列兩組基下的表示矩陣 ,11 12321 nn xexexee ???? ＋，）（ ?!,2,12 12321 nxxx nn ???? ＋，！）（ ???? ??????????????????0000000000020000010?????????nA?????????????????00000100000010000010?????????B說明：同一線性變換在不同基下的表示矩陣一般是不同的，它們之間的關系是相似矩陣。 例 在 R3中線性變換 T將基 變?yōu)榛? 321 , ??? 321 , ???其中 TTT )1,0,1(,)1,2,0(,)1,1,1( 321 ?????? ???TTT )2,3,0(,)1,1,0(,)0,1,1( 321 ????? ???（ 1）求 T在基 下的表示矩陣； 321 , ???（ 2）求向量 及 T)3,2,1(??在基 下的坐標 )(?T 321 , ???解（ 1）依題意 AT ),(),(),( 321321321 ????????? ??則 ),(),( 3211321 ?????? ??A（ 2）設 332211 ???? xxx ??????????????321321 ),(xxx??????? 1321321),( ????????????xxx則 ?????????????????????321321xxxAyyy練習 P23： 7, 8 例 設 的兩個子空間為 22?R}0,{ 432143211 ???????????? xxxxxxxxAAV),( 212 BBs p a nV ? ,31011 ???????B ,10112 ?????? ??B試將 表示為生成子空間 21 VV ?提示：首先將 1V表示為生成子空間： 04321 ???? xxxx方程 的基礎解系為 ,1001,0101,0011321????????????????????????????? ????????????????? ???它們對應著 的一組基： 1V,00 111 ???????A ,01012 ????????A ,10013 ???????A),( 3211 AAAs p a nV ?即 從而 ),( 2132121 BBAAAs p a nVV ??求得 5個矩陣對應的 5個向量的一個極大無關組即可。