理學(xué)線性空間ppt課件(參考版)
2025-01-22 22:49本頁面
【正文】 。 例 試確定在多項(xiàng)式空間 Pn [x]上的求導(dǎo)運(yùn)算 T分別在下列兩組基下的表示矩陣 ,11 12321 nn xexexee ???? ＋，）（ ?!,2,12 12321 nxxx nn ???? ＋，?。????? ??????????????????0000000000020000010?????????nA?????????????????00000100000010000010?????????B說明：同一線性變換在不同基下的表示矩陣一般是不同的，它們之間的關(guān)系是相似矩陣。 n??? , 21 ?二、線性變換的矩陣表示 （ 2）給定 n維線性空間 V的基后， V上的線性變換與 n階矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。)()1( WVT ?? ?。)(][][:},)()({][0xpxpxCxCTCaxaxpxpxCnndxdniiiin?????? ??例 4 定義在閉區(qū)間 [a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)的集合 C[a,b]是一個(gè)線性空間 ， 則 C[a,b]的積分運(yùn)算是線性變換 。 xTxxxVVT???:00:???TxxVVT例 1 恒等變換 例 2 0變換 線性變換舉例： 例 3 求導(dǎo)運(yùn)算是多項(xiàng)式空間 C n [x]上的線性變換。 證明： 設(shè) x1 ,x2 , … ,x k是 S的一組基，則它可擴(kuò)充為 V的一組基 x1 ,x2 , … ,x k， x k+1， … ,x n, 令 ),( 1 nk xxs p a nT ???則 )d im ()d im (d im TSV ??從而 TSV ??練習(xí) P23： 5, 6 第四節(jié) 線性映射 主要內(nèi)容： 一、 線性映射 二、線性映射的矩陣表示 三、線性映射的運(yùn)算（自學(xué)） 四、不變子空間（自學(xué)） 一、線性映射（變換）的定義及性質(zhì) 則稱 T是從 V到 W的一個(gè)線性映射或線性算子。 21 LL ???設(shè) ， 則 解齊次線性方程組 則 022112211 ???? ???? llkk 設(shè) S1 ,S2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空間，如果交空間 ={0}，則稱和空間為直和，記做 三、子空間的直和 21 SS ? 定理 : 設(shè) S1 ,S2是線性空間 V的兩個(gè)子空間 ， 則下列命題等價(jià) 221121 , SS ???? ?????)d im ()d im ()d im ()4( 2121 SSSS ???21 SS ?? 可唯一表示成 的任意元 （ 2）和空間 21 SS ? 為直和； （ 1）和空間 （ 3）若 是 S1的基， r??? , 21 ? t??? , 21 ?是 S2的基， 則 是 ,21 r??? ? t??? , 21 ? 21 SS ?的基。 由維數(shù)公式得交空間的維數(shù)是 1，現(xiàn)在要求交空間 的一組基。 子空間的維數(shù)公式 要證明 )d i m ()d i m ()d i m ()d i m ( 212121 SSSSSS ?????tSSsSrS ???? )d i m (,)d i m (,)d i m ( 2121tsrSS ???? )d im ( 21設(shè) S1 ,S2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空間，則 證明 記 將它分別擴(kuò)充為 S1 ,S2的基 x1 ,x2 , … ,x t , y1 ,y2 , … , y rt 與 x1 ,x2 , … ,x t , z1 ,z2 , … ,z st 事實(shí)上，取 的一組基 x1 ,x2 , … ,x t, 21 SS ? 只需證明 S1+S2的基恰好是 x1 ,x2 , … ,x t , y1 ,y2 , … ,y rt , z1 ,z2 , … ,z st 0111111 ????????? ???? tststrtrtt zqzqypypxkxk ??21 SSx ??tt xlxlx ??? ?11設(shè) )( 111111 tststrtrtt zqzqypypxkxkx ???? ????????????? ??記 則 從而可設(shè) 由 )( 1111 tststt zqzqxlxlx ????????? ??進(jìn)而得 x=0,及 01111 ?????? ?? trtrtt ypypxkxk ?? 故向量組 x1 ,x2 , … ,x t , y1 ,y2 , … ,y rt , z1 ,z2 , … ,z st 線性無關(guān)，并構(gòu)成 S1+S2的基。（可用歸納法證明） 記 dim L (x1 ,x2 , … ,x k )= r r為向量組 x1 ,x2 , … ,x k的秩 . 從而有： 。 )(AN例 矩陣 A的列空間： .},{)( nnm RxRAAxyyAR ???? ?矩陣 A的列空間又稱為 A的值域，記為 設(shè)矩陣 ,},{ 21 nA ??? ??則 .),( 21 mn RL ???? ?),( 21 nLy ??? ???有 ,2211 Axxxxy nn ????? ??? ?生成子空間的維數(shù) x1 ,x2 , … ,x k 的任一極大無關(guān)組構(gòu)成生成子空間L(x1 ,x2 , … ,x k ) 的基。 一、子空間與生成子空間 設(shè) x1 ,x2 , … ,x k 是線性空間 V的任意一組向量，則稱所有 x1 ,x2 , … ,x k線性表示的集合構(gòu)成的子空間（可以驗(yàn)證其為 V的子空間）為生成子空間，記 ),(}:{212211kkkxxxLxxxxVxL????????? ???例 在三維向量空間 R3中， e1 ,e2 , e 3是自然基。 XPY 1??? ?PYxxx n, 21 ??由于基向量線性無關(guān)，則 ,PYX ?例 求向量 在基 x1 ,x2 , x 3下的坐標(biāo) ?????????????????????????????????????????????121,111,011,001321 ?XXX解法 1： 由向量坐標(biāo)的定義，可設(shè)： 332211 XXX ???? ??????????????332321121??????得方程組 解方程組即可 由自然基到基 x1 ,x2 , x 3的過渡矩陣為 ??????????????1001100111P?????????? ?????????????????????????? ?1111211001100111 XPY解法 2： ,1
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