【導(dǎo)讀】對(duì)於任一向量，可在平面上。找到唯一的點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)。示的量，其分量為。與向量具有相同的分量，故視為相等。平面向量可視為一2?陣，因此向量間的算可比照矩陣來定義。X)=0又cX亦為平面向量，且。一個(gè)實(shí)數(shù)向量空間(V,?空的集合V與兩種算??Y亦在V內(nèi)(加法封閉。對(duì)於每一個(gè)V中的元素X，皆有一元素X使得X?對(duì)於任意實(shí)數(shù)c，d及V中任意元素X，c?為方便起見，以下將X?是否為Rn的一個(gè)子空間?

　　

【正文】 與線性轉(zhuǎn)換 257 特徵值與特徵向量的定義 ， 須注意下面幾件事情 (1)在定義 218中 ， 特徵值亦可能為複數(shù) ， 但為避免涉及艱深的數(shù)學(xué)理論 ， 本書只考慮實(shí)數(shù)的特徵值 。 (2)零向量 X = O 永遠(yuǎn)滿足 (25)式 ， 但在這裡 ， 我們只考慮滿足 (25)式的非零向量 。 (3)設(shè) X1 ? O， X2 ? O 為對(duì)應(yīng)於 ? 的兩個(gè)特徵向量 ，a 為任意實(shí)數(shù) ， 且 a ? 0， 則因 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 258 故知 aX1 與 X1 + X2 亦為對(duì)應(yīng)於 ? 的特徵向量 。 (4)若令 即 S 為對(duì)應(yīng)於 ? 的所有特徵向量及零向量所構(gòu)成的集合 ， 則由 (3)知 S 為 Rn 的子空間 ， 稱為特徵值 ? 的 特徵空間 (eigenspace)。 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )A a X a A X a X a XA X X A X A X X X X X??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?{ | }nS X R AX X?? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 259 設(shè) A 為 n 階方陣 。 多項(xiàng)式 稱為 A 的特徵多項(xiàng)式 (characteristic polynomal of A)。 而方程式 稱為 A 的特徵方程式 (characteristic equation of A)。 219 ()f I A????( ) 0f I A??? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 260 220 若 A、 B 均為 n 階方陣 ， 且存在一非奇異矩陣 P 使得 B = P?1 AP， 則稱 B 與 A 相似 (B is similar to A)。 設(shè) A 為一 n 階方陣 。 若 A 與一對(duì)角矩陣相似 ， 則稱 A 為可對(duì)角線化 (diagonalizable)。 221 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 261 (1)若矩陣 A 與 B 相似 ， B 與 C 相似 ， 則 A 與 C 相似 。 即矩陣的相似關(guān)係具有傳導(dǎo)性 (transitivity)。 (2)若矩陣 A 與 B 相似 ， 則 |A| = |B|。 (3)若矩陣 A 與 B 相似 ， 則 A、 B 具有相同的特徵值 。 217 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 262 若 A 為 n 階方陣 ， 則 A 可對(duì)角線化的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性獨(dú)立的特徵向量 。 此時(shí) ， A 與某個(gè)對(duì)角矩陣 D 相似 ， 即 D = P?1AP， 而 D 的對(duì)角線元素即為 A 的特徵值 ， 且矩陣 P 的行向量即為 A 的 n 個(gè)線性獨(dú)立的特徵向量 。 218 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 263 若 ?1, ?2, …… ?m 為 n 階方陣 A 的 m 個(gè)相異的特徵值 ， 則其對(duì)應(yīng)之特徵向量 X1, X2, …… , Xm 必為線性獨(dú)立 。 若矩陣 A 的特徵方程式根皆為實(shí)數(shù) ， 且彼此相異 ，則矩陣 A 必可對(duì)角線化 。 219 220 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 264 若矩陣 A 僅有 m 個(gè)相異的特徵值 ?1, ?2 , … , ?m，m n， 其中 ?i 的重根數(shù)為 ki , i = 1, 2, … , m， 且 ， 則 A 可對(duì)角線化的充要條件是： ?i 特徵空間的維度為 ki , i = 1, 2, … , m。 對(duì)稱矩陣的特徵值必為實(shí)數(shù)；因此若對(duì)稱矩陣的特徵值彼此相異 ， 則此對(duì)稱矩陣必可對(duì)角線化 。 221 1miikn???222 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 265 對(duì)稱矩陣相異特徵值所對(duì)應(yīng)之特徵向量彼此正交 。 223 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 266 設(shè) P 為 n 階非奇異矩陣 ， 若 PTP = In， 則稱 P 為正交矩陣 。 若 A 為對(duì)稱矩陣 ， 則必存在一正交矩陣 P， 使得P?1AP = D， 而對(duì)角矩陣 D 的對(duì)角線元素即為 A 的特徵值 。 222 224 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 267 27 二次形式 一個(gè)含有 n 變數(shù) x1, x2, ..., xn 的二次函數(shù) Q(X) = XTAX 即稱為 n 元 二次形式 (quadratic form in n variables)， 其中 X = [x1, x2, … , xn]T， A 為一對(duì)稱矩陣 。 為化簡二次形式 ， 我們常利用變數(shù)變換 X = PY，P 是一正交矩陣 ， 將 n 元二次形式 Q(X) 變換成另一個(gè) n 元二次形式 Q?(Y)。 223 ( ) ( ) ( ) ( )()T T T TTQ X X A X P Y A P Y Y P A P YY B Y Q Y? ? ????現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 268 設(shè) A、 B 均為 n 階方陣 ， 若存在一非奇異矩陣 P，使得 B = PTAP， 則稱 A 與 B 相符 (congruent)。 224 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 269 設(shè) Q(X) = XTAX， Q?(Y) = YTBY 均為二次形式 ， 若 A 與 B 相符 ， 則稱 Q 與 Q? 同義 (equivalent)。 225 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 270 主軸定理 (Principal Axes Theorem) 每一個(gè) n 元二次形式 Q(X) = XTAX 均與 Q?(Y) = 同義 ， 其中 Y = [ y1, y2, … , yn ]T， ?1, ?2, … , ?n 為 A 的特徵值 。 225 2 2 21 1 2 2 nny y y? ? ?? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 271 設(shè) A = [aij] 為 n 階對(duì)稱矩陣 ， 則 A 為正定的充要條件是 228 11 121121 2211 12 1321 22 2331 32 330 , 0 ,0 , , 0aaaaaa a aa a a Aa a a????現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 272 設(shè) A = [aij] 為 n 階對(duì)稱矩陣 ， 則 A 為負(fù)定的充要條件是 229 11 121121 2211 12 1321 22 2331 32 330 , 0 ,0 , , ( 1 ) 0naaaaaa a aa a a Aa a a??? ?