【正文】 c3 使得 c1X1+ c2X2 +c3X3 = 0 故 X1, X2 , X3 為 線性相依 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 230 練習(xí)三： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? (b) 在 R3中 ， u1= (1, 2, 1)， u2= (1, 2, 1)， u3= (3, 2, 1) ， u4= (2, 0, 0) (c) 在 R4中 ， X1= (1, 1, 0, 0)， X2= (2, 0, 1, 1) (d) 在 R4中 ， u1= (1, 0, 1, 2)， u2= (0, 1, 1, 2)， u3= (1, 1, 1, 3) 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 231 練習(xí)三： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? (b)在 R3中 ， u1= (1, 2, 1)， u2= (1, 2, 1)， u3= (3, 2, 1) ， u4= (2, 0, 0) (c)在 R4中 ， X1= (1, 1, 0, 0)， X2= (2, 0, 1, 1) (d) 在 R4中 ， u1= (1, 0, 1, 2)， u2= (0, 1, 1, 2)， u3= (1, 1, 1, 3) 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 232 若 X1, X2, …… , Xk 為向量空間 V 的 k 個向量 ， 則X1, X2, …… , Xk 線性相依的 充要條件 是其中一個向量可以用其他 k?1 個向量的線性組合來表示 。 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 236 若 S = {X1, X2, …… , Xn }為向量空間 V 的基底 ， 則V中每一個向量 X 可以用 X1, …… , Xn 的 線性組合表示 ， 且表示法為 唯一 。 210 11 nnX Y x y x y? ? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 240 若 X、 Y、 Z 均為 Rn 中的向量 ， c 為實數(shù) ， 則 (1) X． X = ||X||2 而且 X． X = 0 若且唯若 X = O (2) X． Y = Y． X (3) (X + Y)． Z = X． Z + Y． Z (4) (cX)． Y = c (X． Y) = X． (cY) 26 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 241 CauchySchwarz,zd 不等式 若 X、 Y 為 Rn 中的向量 ， 則 (22) (注意不等式左邊的符號 | | 代表實數(shù)的絕對值 ，而右邊的 || || 代表向量的長度 ) 27 X Y X Y??現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 242 設(shè) X、 Y 為 Rn 中非零的向量 ， 則 X、 Y 間夾角 ? 的餘弦函數(shù)為 211 c o s 0XYXY? ? ??? ? ?，現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 243 設(shè) X、 Y 為 Rn 中的兩個向量 ， 若 X． Y = 0， 則稱 X 與 Y 正交 (orthogonal)。 212 2?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 244 設(shè) S = {X1, …… , Xn }為 Rn 的基底 ， 若 i ? j 時 ，Xi． Xj = 0， 則稱 S 為 Rn 的正交基底 (orthogonal basis)。 28 29 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 246 若 S = {X1, X2, …… , Xn} 為 Rn 的正規(guī)基底 ， 則向量 X 對應(yīng)於 S 的座標為 210 ? ?12SnXXXXXXX??????????????????現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 247 24 線性轉(zhuǎn)換 設(shè) V、 W 為兩向量空間 。 則稱 L 為從 V 映至 W 的線性轉(zhuǎn)換 。 設(shè) L : V ? W 為一線性轉(zhuǎn)換 。 設(shè) L : V ? W 為一線性轉(zhuǎn)換 ， 則 dim (Ker L) + dim (Range L) = dim V (24) 214 215 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 252 25 線性轉(zhuǎn)換的代表矩陣 設(shè) L : V ? W 為一線性轉(zhuǎn)換 ， 且 S = {X1,…… , Xn}，T = {Y1, …… , Ym}分別為向量空間 V 及 W 的基底 。 218 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 257 特徵值與特徵向量的定義 ， 須注意下面幾件事情 (1)在定義 218中 ， 特徵值亦可能為複數(shù) ， 但為避免涉及艱深的數(shù)學(xué)理論 ， 本書只考慮實數(shù)的特徵值 。 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )A a X a A X a X a XA X X A X A X X X X X??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?{ | }nS X R AX X?? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 259 設(shè) A 為 n 階方陣 。 設(shè) A 為一 n 階方陣 。 (2)若矩陣 A 與 B 相似 ， 則 |A| = |B|。 218 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 263 若 ?1, ?2, …… ?m 為 n 階方陣 A 的 m 個相異的特徵值 ， 則其對應(yīng)之特徵向量 X1, X2, …… , Xm 必為線性獨立 。 221 1miikn???222 現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 265 對稱矩陣相異特徵值所對應(yīng)之特徵向量彼此正交 。 為化簡二次形式 ， 我們常利用變數(shù)變換 X = PY，P 是一正交矩陣 ， 將 n 元二次形式 Q(X) 變換成另一個 n 元二次形式 Q?(Y)。 225 2 2 21 1 2 2 nny y y? ? ?? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 271 設(shè) A = [aij] 為 n 階對稱矩陣 ， 則 A 為正定的充要條件是 228 11 121121 2211 12 1321 22 2331 32 330 , 0 ,0 , , 0aaaaaa a aa a a Aa a a????現(xiàn)代管理數(shù)學(xué)． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 272 設(shè) A = [aij] 為 n 階對稱矩陣 ， 則 A 為負定的充要條件是 229 11 121121 2211 12 1321 22 2331 32 330 , 0 ,0 , , ( 1 ) 0naaaaaa a aa a a Aa a a??? ? ?