向量組的極大線性無關(guān)組-預(yù)覽頁
【正文】 為例） 2,3 ?? sr(1) 設(shè)由兩個向量 構(gòu)成的向量組，通過線性組合得到 21,??三個向量 , 321 ???顯然，即使 是 線性獨立 的，也不可能線性組合出 21,??三個 性線獨立 的向量； 更何況 本身可能是 21,??線性相關(guān) 的。 向量組的極大線性無關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 2. 向量組之間的等價 定義 若向量組 與向量組 能夠相互 s??? , 21 ?m??? , 21 ?線性表示 ， ,),( 21 ssnB ??? ??? ,),( 21 mmnA ??? ???此時 , 若記 其中 n 為向量的維數(shù)。 向量組的極大線性無關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 二、向量組的秩 性質(zhì) (1) 反身性， (2) 對稱性， (3) 傳遞性， 即向量組自己與自己等價； 若 與 等價， (I) (Ⅱ) 則 與 等價； (I) (Ⅱ) 若 與 等價，且 與 等價， (Ⅲ) (I) (Ⅱ) (Ⅱ) 則 與 等價。 向量組的極大線性無關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 二、向量組的秩 定理 兩個等價的向量組中各自的極大線性無關(guān)組所含的向量 2. 向量組之間的等價 個數(shù)相等。 組的向量個數(shù)是惟一的。 16 第三章 維向量空間 167。 18 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無關(guān)組 n 證明 它的一個極大線性無關(guān)組為 , 21 s??? ?則存在可逆 ),(),( 2121 sn R ?????? ?? ?0 記為 ,~C?QCP ~~~ ,?????? sI 0 0 0 (2) 設(shè)由矩陣 A 的 列 構(gòu)成的向量組 的秩為 s， n??? , 21 ?對矩陣 根據(jù)引理一定存在可逆陣 和 使得 P~ ,~Q,~C矩陣 R，使得 ?? QRAP ~~ ,?????? sI 0 0 0 即得 sQRAPrAr ?? )~~()( n??? , 21 ?? 的秩 . 進一步有 )()( TArAr ? m??? , 21 ?? 的秩 . 21 第三章 維向量空間 167。 (2) 極大線性無關(guān)組為 。, 31 ??(3) 組合關(guān)系 ,2 312 ??? ??.23 314 ??? ??(1) 向量組的秩為 3。 證明 設(shè) ,),( 21 mB ??? ?? ,),( 21 mA ??? ??則存在可逆矩陣 P，使得 ,BAP ? ,1 BPA ???若 有 ,0?XA ,01 ?? XBP ,0?? XB若 有 ,0?XB ,0?XAP ,0?? XA即方程 與 同解， 0?XB0?XA故 與 有 相同的線性組合關(guān)系。 向量組的極大線性無關(guān)組 n ??????????? 151225311421例 設(shè) 求 (1) 向量組的秩 。 (2) 極大線性無關(guān)組為 。 求 ??????????????222011101110321129 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無關(guān)組 n ??????????????0000000011102101極大線性無關(guān)
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