北京工業(yè)大學線性代數(shù)第四章第三節(jié) 向量組的秩-預覽頁
【正文】 4 ⑴ 全由零 向量組成的向量組沒有極大線性 ⑵ 任意含有非零 向量的向量組，必有極大 線性無關組． 說明： 無關組． ⑶ 線性無關的向量組的極大線性無關組是 其本身． ⑷ 向量組的極大線性無關組不一定唯一。 但對于部分組 ?1來說 , 添上 ?3 后得到的部分 組 ??13, 仍線性無關，而部分 組 ??12, 添上 ?3?3 后得到的 ? ? ?1 2 3,卻線性相關 , 由此受到啟發(fā)，我們引入下述概念。 無關組等價． 往證 12 ri i i? ? ?， ， ,12 s? ? ?， ， ,可由 線性表出 . 即證向量組中任意向量都可以由 它的極大線性無關組線性表出 . 9 12{}js? ? ? ?? ， ， ,設 12{} rj i i i? ? ? ???， ， ,① 12 ri i i? ? ?， ， ,線性表出 。 12 12,??向量組 考察： 幾何空間中，向量組 1 2 3,? ? ?,可 以 由1 2 3,? ? ?線性表出，則我們有如下結(jié)論： 情形 1 12,??若不共線 , 則 一定共面。 15 三． 向量組的秩 定義 : 所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩，記作 12 s? ? ?， ， ,向量組 的極大線性無關組 ? ?ss1 2 1 2? ? ? ? ? ?秩 ， ， ,或 r a n k { ， ， , } 。 stAB? ? ?? ? ?， ， ,， ， ,若 A 可由 B 線性表出 , 則 ? ? ? ?1 2 1 2 .st? ? ? ? ? ??秩 ， ， ,秩 ， ， ,定理 3： ? ?12 .s s? ? ???秩 ， ， ,⑵ 向量組 12 s? ? ?， ， ,線性無關 ⑶ 向量組 12 s? ? ?， ， ,線性相關 ? ?12 .s s? ? ???秩 ， ， ,17 推論： 等價的向量組有 說明： 相同的秩 。 1 2 3 4,? ? ? ??也線性相關。,( 2121 ssC ?????? ???1 1 2 2( , , , )ssAB ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?證明 (2)： 將 A, B按列分塊 設 由 ),(),(21212211ssssRR????????????????????),(),( 2121 ss RR ?????? ?? ??28 作 業(yè) P152 18 (2) 24題之前的題都可以做！
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