北京工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)第四章第三節(jié) 向量組的秩-文庫(kù)吧
2025-01-03 17:24 本頁(yè)面
【正文】 8 定理 1： 向量組與它的任意一個(gè)極大線性 證： 12 ri i i? ? ?， ， ,是向量組 12 s? ? ?， ， ,設(shè) 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 易知 12 ri i i? ? ?， ， ,12 s? ? ?， ， ,可由 線性表出。 無(wú)關(guān)組等價(jià)． 往證 12 ri i i? ? ?， ， ,12 s? ? ?， ， ,可由 線性表出 . 即證向量組中任意向量都可以由 它的極大線性無(wú)關(guān)組線性表出 . 9 12{}js? ? ? ?? ， ， ,設(shè) 12{} rj i i i? ? ? ???， ， ,① 12 ri i i? ? ?， ， ,線性表出 。 j?可以由 12{ } ,rj i i i? ? ? ?? ， ， ,② 12 ,ri i i j? ? ? ?? ， ， ,線性相關(guān) 是極大線性無(wú)關(guān)組 j??可以由 12 ri i i? ? ?， ， ,線性 ? ?12 ri i i? ? ?， ， ,? ?12 s? ? ???， ， ,12 ri i i? ? ?， ， ,12 s? ? ?， ， ,可以由 線性表出 . 12 ri i i? ? ?， ， ,由 表出。所以 10 推論： 向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 等價(jià) 。 (由等價(jià)的對(duì)稱性和傳遞性 ) 小結(jié) : 12 ri i i? ? ?， ， ,是向量組 12 s? ? ?， ， ,設(shè) 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， ? 能 否 由12, , , m? ? ? 線性表出 ?? 能 否 由i i i r12, , ,? ? ? 線性表出 12, , , ,i i i r? ? ? ??是否線性相關(guān) 11 現(xiàn)在我們知道，向量組的任意兩個(gè)極大 線性無(wú)關(guān)組可以互相線性表出，為了研究它 們所含向量的個(gè)數(shù)是否相等，就需要先研究 如果一個(gè)向量組可以由另一個(gè)向量組線性表 出，它們所含向量的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系。 12 12,??向量組 考察： 幾何空間中，向量組 1 2 3,? ? ?,可 以 由1 2 3,? ? ?線性表出，則我們有如下結(jié)論： 情形 1 12,??若不共線 , 則 一定共面。 1 2 3,? ? ?情形 2 ??12,若共線 , 則 一定共線， 1 2 3,? ? ??當(dāng)然也共面。 線性相關(guān) 由此，我們猜想有下述結(jié)論： 12,??1 2 3,? ? ?,可 以 由線性表出， 結(jié)論： 13 定理 1： st1 2 1 2? ? ? ? ? ?， ， ,可 由 ， ， ,設(shè)向量組
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