【正文】 ? (i) 若 X, Y ? W, 則 AX=O amp。 AY=O ?A(X+Y) =AX+AY = O + O =O ? X+Y ? W (定理 23(1)成立 ) (ii) 若 c ? R ? 0, 且 X ? W ,則 AX=O ? A(cX) = c A(X) = cO=O ? cX ? W (定理 23(2)成立 ) 故 W為 Rn 的一個子空間 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 217 例題： 設 W= {(a,b,0)| a,b ?R} ,W是否 為 R3的一個子集合？ (1) 令 w1= (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W w2= (a2,b2,0) , where a2,b2? W ? w1+ w2= (a1+a2,b1+b2,0) ?W 條件 (1)成立 (2) 令 w1= (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W且 c ? R ? cw1= c(a1,b1,0) , = (c a1, c b1,0) ? W 條件 (2)成立 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 218 練習一 下列 R2的子集 ， 在一般向量之加法與純量乘積運算下 ， 哪些為 R2的子空間 ? (a) W1={ (x,y) | x?0 , y?R} (b) W2={ (x,y) | x?0 , y ?0 } (c) W3={ (x,y) | x=0 , y?R} 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 219 22 線性獨立與基底 設 V 為一向量空間 ， X, X1, X2, …… , Xk， 為 V 中一組向量 。 若有 k 個實數(shù) c1, c2, …… , ck， 使得 X = c1X1 + c2X2 + …… + ckXk 則稱向量 X 為 X1, X2, …… , Xk 的 線性組合 (linear bination)。 24 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 220 若 X1, X2, …… , Xk 為向量空間 V 的一組向量 ， 則 X1, X2, …… , Xk 的 線性組合 所構(gòu)成的集合 ， 以符號 X1, …… , Xk 表之 ， 。 這裡 ， X1, …… , Xk = {c1X1+ …… + ck Xk | c1, …… , ck ,為任意實數(shù) } X1, …… , Xk為 V 的一個子空間 24 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 221 設 X1, …… , Xk 為向量空間 V 的一組向量 。 我們稱 W =X1,…… ,Xk為由 X1, …… , Xk 所 造成 (is spanned by)的子空間 。 或稱向量 X1,…… , Xk 造成(span) W。 W =X1,…… ,Xk is spanned by X1, …… , Xk or X1, …… , Xk span W 25 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 222 練習二 (a) (例題 210) () 檢查 X1= (1, 1, 1)， X2= (1, 2, 3)， X3= (0 ,1 , 0)， 是否可以造成 R3? (b) 在 R3中 ， u1= (1, 1, 0)， u2= (0, 1, 1)， u3= (1 ,1 1) ， 試問 u1= (1, 0, 0)是否可以由 u1, u2， u3 所 造成 ? 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 223 練習二 (例題 210) ()： 觀念： 令 X= (a,b,c) , 其中 a, b, c為任意實數(shù)，看 X是否能用 X1 , X2 , X3的線性組合表示 求解：令 c1X1+ c2X2 +c3X3 = X =(a,b,c) , 則 c1 + c2 ＝ a c1 + 2c2 + c3 ＝ b c1 + 3c2 ＝ c c1 ＝ (3/2)a 1/2c c2 ＝ (1/2)(ca) c3 = b(1/2)c(1/2)a 故 X1, X2 , X3可以 造成 R3 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 224 設 X1, …… , Xk 為向量空間 V 的向量 。 若存在一些 不全為零 的實數(shù) c1, …… , ck 使得 c1X1 + c2X2 + …… + ckXk = O (21) 則稱 X1,… , Xk 為 線性相依 (linearly dependent)。 否則稱 X1, … , Xk 為 線性獨立 (linearly independent)。 換句話說 ， 若 (21)式只有在 c1 = c2 = …… = ck = 0 時才能成立 ， 則 X1, …… , Xk 稱為 線性獨立 。 再者 ， 若其中某個向量 Xi 為零向量 ， 則 X1, …… , Xk 必為線性相依 。 26 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 225 判斷 X1,… , Xk 為 線性相依 或 線性獨立 的步驟如下： 步驟一：寫出等式 c1X1 + c2X2 + …… + ckXk = O . CX= O 由此可導出一齊次方程組 。 步驟二：若上述齊次方程組僅由明顯解 ， 則此組向量集合為線性獨立 ， 否則為線性相依 。 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 226 R2 上線性相依與線性獨立之義涵 R2 上的線性相依 ?座落於通過原點的同一直線上的兩個向量 X1 o X2 X2 X1 o R2 上的線性獨立 ?通過原點，不在同一直線上的兩個向量 c1X1 + c2X2 = O , Suppose c1 ? 0, X1 = (c2/c1) X2 = k X2 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 227 R3上線性相依與線性獨立之義涵 R3 上的線性相依 ? 座落於通過原點的同一平面上 X1 X2 ｏ X3= a1*X1 ＋ a2*X2 X1 X3 X2 ｏ R3 上的線性獨立 ? 其一向量不為其他向量的純量積 (Scalar Multiple) 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 228 練習三 (例題 212) ()： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? 在 R3中， X1= (1, 1, 1)， X2= (1, 2, 3)， X3= (0 ,1 , 0) 求解：令 c1X1+ c2X2 +c3X3 = 0 =(0,0,0) , 則 c1 + c2 ＝ 0 c1 + 2c2 + c3 ＝ 0 c1 + 3c2 ＝ 0 c1 ＝ 0 c2 ＝ 0 c3 =