高二數(shù)學(xué)空間向量-文庫(kù)吧
2024-10-23 19:03 本頁(yè)面
【正文】 ＝ ( － 3 ， 2 , 1 ) ， ∵ BE→ DA→＝ ( － 3 ， 2 , 1 ) ( 2 3 ， 3 , 0 ) ＝ 0 ， BE→ DP→＝ ( － 3 ， 2 , 1 ) ( 0 ，－ 1 , 2 ) ＝ 0 ， ∴ BE ⊥ DA ， BE ⊥ DP ， ∴ BE ⊥ 平面 P A D ，則平面 P A B ⊥ 平面 P A D . 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 在用向量方法證明平行和垂直時(shí) ， 同樣需要立體幾何最基本的定理 ， 比如本題中 ， 要證明直線與平面平行 ， 我們現(xiàn)在還沒(méi)有更好的計(jì)算手段 ， 必須依靠直線與平面平行的判定定理來(lái)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某個(gè)向量共線 ， 從而得到直線和平面平行 ． 空間向量與空間角 (1)求異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線的方向向量分別為 n n2， 那么這兩條異面直線所成的角為 θ＝ 〈 n1， n2〉 或 θ＝ π－ 〈 n1， n2〉 ， ∴ cosθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |. (2)求斜線與平面所成的角 如圖 ， 設(shè)平面 α的法向量為 n1， 斜線 OA的方向向量為 n2， 斜線 OA與平面所成的角為 θ， 則sinθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |. (3)求二面角的大小 如圖 ， 設(shè)平面 α、 β的法向量分別為 n 為兩平面的法向量所成的角 (或其補(bǔ)角 )就等于平面 α、 β所成的銳二面角 θ， 所以 cosθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |.(注：其中的 〈 n1， n2〉 表示向量n1與 n2所成的角 )． 例 2 在底面是直角梯形的四棱錐 S － ABCD中， ∠ ABC ＝ 90176。 ， SA ⊥ 面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC＝ 1 ， AD ＝12，求面 S C D 與面 S B A 所成的二面角的正切值． 【 思路點(diǎn)撥 】 可建立空間直角坐標(biāo)系 ， 求出兩個(gè)平面的法向量 ， 通過(guò)法向量的夾角進(jìn)行求解 ． 【解】 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 0 , 0 , 0 ) 、D (12， 0 , 0 ) 、 C ( 1 , 1 , 0 ) 、 S ( 0 , 0 , 1 ) ，面 S A B 的一個(gè)法向量是 AD→＝(12， 0 , 0 ) ．設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是面 S C D 的一個(gè)法向量，則 n ⊥ DC→，n ⊥ DS→，即 n D C→＝ 0 ， n D S→＝ 0. 又 DC→＝ (12， 1 , 0 ) ， DS→＝ ( －12， 0 , 1 ) ， ∴12x ＋ y ＝ 0 ，且－12x ＋ z ＝ 0 ， ∴ y ＝－12x ，且 z ＝12x ， ∴ n ＝ ( x ，－x2，x2) ， 取 x ＝ 1 ，得 n ＝ (1 ，－12，12) ． 設(shè) AD→與 n 所成角為 θ1， 則 c o s θ1＝AD→ n| AD→|| n | ＝1212 1
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