高二數(shù)學空間向量(已修改)
2024-11-28 19:03 本頁面
【正文】 本章 優(yōu)化總結(jié) 專題探究精講 本章優(yōu)化總結(jié) 知識體系網(wǎng)絡(luò) 章末綜合檢測 知識體系網(wǎng)絡(luò) 專題探究精講 空間向量與空間位置關(guān)系 用向量方法證明平行與垂直問題的一般步驟是： (1)建立立體圖形與空間向量的關(guān)系 ， 利用空間向量表示問題中所涉及到的點 、 線 、 面 ， 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題 ． (2)通過向量的運算研究平行或垂直關(guān)系 ， 有時可借助于方向向量或法向量 ． (3)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)的問題 ． 例 1 已知 ， 在四棱錐 P－ ABCD中 ， PC⊥ 平面ABCD， PC＝ 2， 在四邊形 ABCD中 ， ∠ B＝ ∠ C＝ 90176。 ， AB＝ 4， CD＝ 1， 點 M在 PB上 ， 且 PB＝ 4PM， PB與平面 ABC成 30176。 角 ． 求證： (1)CM∥ 平面 PAD； (2)平面 PAB⊥ 平面 PAD. 【 思路點撥 】 條件中有諸多垂直關(guān)系 ， 具備建立空間直角坐標系的條件 ， 可以利用向量解決 ． 【 證明 】 如圖所示 ， 建立空間直角坐標系 C－ xyz. (1)∵ PC⊥ 平面 ABCD， ∴∠ PBC為 PB與平面 ABC所成的角 ， ∴∠ PBC＝ 30176。 . ∵ | PC | ＝ 2 ， ∴ | BC | ＝ 2 3 ， | PB | ＝ 4 ， 得 D ( 0 , 1 , 0 ) 、 B (2 3 ， 0 , 0 ) 、 A (2 3 ， 4 , 0 ) 、 P ( 0 , 0 , 2 ) ． 又 | PB | ＝ 4| PM | ， ∴ | PM | ＝ 1 ， M (32， 0 ，32) ， ∴ CM→＝ (32， 0 ，32) ， DP→＝ (0 ，－ 1 , 2 ) ， DA→＝ (2 3 ， 3 , 0 ) ． 設(shè) N 為 PA 上一點，則存 在 x 、 y 使 DN→＝ x DP→＋ y DA→( 其中 x 、 y ∈ R) ，則 DN→＝ x (0 ，－ 1 , 2 ) ＋ y (2 3 ， 3 , 0 ) ＝ (2 3 y, 3 y －x, 2 x ) ． 令 2 3 y ∶32＝ 2 x ∶32，得 3 y － x ＝ 0 ， ① 又 AN→∥ AP→，且 AN→＝ (2 3 y － 2 3 ，－ 3 , 2 x ) ， AP→＝ ( － 2 3 ，－ 4 , 2 ) ， ∴ (2 3 y － 2 3 ) ∶ ( － 2 3 ) ＝ 2 x ∶ 2 ， ② 由 ①② 解得 x ＝34， y ＝14. ∴ 當 x ＝34， y ＝14時， CM→、 DN→共線， ∴ CM→、 DP→、 DA→共面， ∵ CM ? 平面 P A D ， ∴ CM ∥ 平面 P A D . ( 2 ) 作 BE ⊥ PA 于 E ， | PB | ＝ | AB | ＝ 4. ∴ E 為 PA 的中點， ∴ E ( 3 ， 2 , 1 ) ， ∴ BE→
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