01-線性空間與子空間-資料下載頁(yè)
2025-07-26 09:58本頁(yè)面
【正文】 假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)kk、km、pp、pn1－m、qq、qn2－m使令，則 但根據(jù)基擴(kuò)定理 ， xx、xm、yy、yn1－m成為V1的一個(gè)基 同理： 這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無(wú)關(guān)，可作為V1+V2的一個(gè)基。 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m三、子空間的直和1. 定義：設(shè)VV2是線性空間V的子空間，若其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個(gè)元素與V2的一個(gè)元素之和，即，存在唯一的、使，則稱為V1與V2的直和，記為子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是，反映的是兩個(gè)子空間的關(guān)系特殊。2. 定理：如下四種表述等價(jià) （1）成為直和 （2） （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）xx、xs為V1的基，yy、yt為V2的基，則xx、xs、yy、yt為的基[證明]（2）和（3）的等價(jià)性顯然采用循環(huán)證法：（1）（2）（4）（1）（1）（2）：已知＝ 假定且，則，，說(shuō)明對(duì)0元素存在兩種分解，這與直和的定義矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即（2）（4）：已知成為基的兩個(gè)條件：1） 可以線性表示V1+V2中的任意元素2）線性無(wú)關(guān)、存在如下坐標(biāo)表示式 可表示V1+V2中的任一元素，xx、xs、yy、yt可表示V1+V2中的任意元素。假設(shè)xx、xs、yy、yt線性相關(guān)，即存在不全為0的 使＝0 而 ＝－y ＝0同理這與其線性相關(guān)性矛盾，xx、xs、yy、yt線性無(wú)關(guān) xx、xs、yy、yt可作為的基（4）（1）：已知（4）成立 在xx、xs、yy、yt這組基下存在唯一的坐標(biāo)使 x＝ 成為直和作業(yè)：P25－26 7，9，1216
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