01-線性空間與子空間-文庫吧在線文庫
【正文】 實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用的兩個(gè)數(shù)域。（2）兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)數(shù)域中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算，而中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。（2） 如下恒等式成立： o， 。?線性組合： 稱為元素組的一個(gè)線性組合。令Eij為這樣的一個(gè)mn階矩陣，其（i, j）元素為1，其余元素為零。例3 考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。設(shè)是的舊基，是的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示 ()即 其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。、xm為V中的元素，它們的所有線性組合的集合 也是V的線性子空間，稱為由xx、xm)}=m5. 基擴(kuò)定理：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個(gè)m維子空間，xx、xm、zz、xs、yy、yt線性相關(guān)，即存在不全為0的 使＝0 而 ＝－y ＝0同理這與其線性相關(guān)性矛盾，xx、yt可作為的基（4）（1）：已知（4）成立 在xx、pn1－m、qq、zn2－m，若能證明它為V1+V2的一個(gè)基，則有dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。、yn1－mV1，使xx：若V1和V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則，V1＋V2均為V的子空間[證明]（1） 是V的一個(gè)線性子空間。[證明]（1）0 V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。（2）更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。二、 線性空間的基與坐標(biāo)1． 基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，是屬于V的r個(gè)任意元素，如果它滿足（1）線性無關(guān)；（2）V中任一向量x均可由線性表示。4． 線性空間的維數(shù)定義：線性空間中最大線性無關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為的維數(shù)，記為。假設(shè)，存在兩個(gè)負(fù)元素和，則根據(jù)負(fù)元律有 o＝ [零元律] [結(jié)合律] [零元律] 即和相同，故負(fù)元素唯一。例1． 設(shè)＝{全體正實(shí)數(shù)}，其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為 xy=xy , 證明：是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。如果滿足[如下
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