01-線性空間與子空間(編輯修改稿)
2025-08-22 09:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則稱為V的一個基，并稱為該基的基元素。?基正是V中最大線性無關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的個數(shù)。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個數(shù)相等。例3 考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。如果K＝C（復(fù)數(shù)域），則該集合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1，空間維數(shù)為1；如果取K＝R（實數(shù)域），則該集合對復(fù)數(shù)加法及實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為{1,i}，空間維數(shù)為2。數(shù)域K兩種運算基一般元素空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C（1）復(fù)數(shù)加法；（2）復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘{1}復(fù)線性空間1實數(shù)域R（1）復(fù)數(shù)加法；（2）實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘{1,i}實線性空間22． 坐標的定義：稱線性空間的一個基為的一個坐標系，它在該基下的線性表示為： 則稱為x在該坐標系中的坐標或分量，記為 討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。（2）更進一步，原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。 正對應(yīng) 正對應(yīng) （3）顯然，同一元素在不同坐標系中的坐標是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、 基變換與坐標變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標變換的規(guī)律。設(shè)是的舊基，是的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示 ()即 其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。設(shè)，它在舊基下的線性表示為 它在新基下的線性表示為 則 由于基元素的線性無關(guān)性，得到坐標變換關(guān)系 補充：證明對于線性空間的零元素o，均有ko＝o。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件（1） 如果x、yV1，則x＋yV1；（2） 如果xV1，kK，則kxV1，則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。 2. 性質(zhì)：（1）線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素； （2）V1中元素的負元素仍在V1中。[證明]（1）0 V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。（2）（－1）x=(－x) 封閉性 V1中元素的負元素仍在V1中3. 分類
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