01-線性空間與子空間(存儲版)
【正文】 相關性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標。對于任意的，都可由以上元素組線性表示， —— 即構成了最大線性無關元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。 2. 性質：（1）線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素； （2）V1中元素的負元素仍在V1中。、xm生（張）成的子空間，記為L(xx、xm是V1的一個基，則這m個基向量必可擴充為Vn的一個基；換言之，在Vn中必可找到nm個元素xm+xm+二、子空間的交與和：設VV2是線性空間V的兩個子空間，則 分別稱為V1和V2的交與和。、zn2－m成為V2的一個基； 考察xx、yt為的基[證明]（2）和（3）的等價性顯然采用循環(huán)證法：（1）（2）（4）（1）（1）（2）：已知＝ 假定且，則，說明對0元素存在兩種分解，這與直和的定義矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即（2）（4）：已知成為基的兩個條件：1） 可以線性表示V1+V2中的任意元素2）線性無關、存在如下坐標表示式 可表示V1+V2中的任一元素，xx、xs、yy、xs、yy、yt可表示V1+V2中的任意元素。、km、pp、yn1－m、zz、xm是的一個基，根據(jù)基擴定理 存在1）yy、xn成為Vn的一個基。、xm)。設，它在舊基下的線性表示為 它在新基下的線性表示為 則 由于基元素的線性無關性，得到坐標變換關系 補充：證明對于線性空間的零元素o，均有ko＝o。如果K＝C（復數(shù)域），則該集合對復數(shù)加法和復數(shù)復數(shù)的乘法構成線性空間，其基可取為1，空間維數(shù)為1；如果取K＝R（實數(shù)域），則該集合對復數(shù)加法及實數(shù)對復數(shù)的數(shù)乘構成線性空間，其基可取為{1,i}，空間維數(shù)為2。顯然，這樣的矩陣共有mn個，構成一個具有mn個元素的線性無關元素組。?線性表示：中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。 [證明]（1）采用反證法： ①零元素是唯一的。（3）除了兩種運算和八條性質外，還應注意唯一性、封閉性。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學習現(xiàn)代矩陣論的重要基礎。
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