01-線性空間與子空間(已修改)
2025-08-07 09:58 本頁面
【正文】 第一講 線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)[知識預(yù)備]★集合：籠統(tǒng)的說是指一些事物（或者對象）組成 的整體集合的表示：枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有?。★?shù)域：一種數(shù)集，對四則運(yùn)算封閉（除數(shù)不為零）。比如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用的兩個數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個抽象。1． 線性空間的定義：設(shè)是一個非空集合，其元素用等表示；是一個數(shù)域，其元素用等表示。如果滿足[如下8條性質(zhì)，分兩類]（I）在中定義一個“加法”運(yùn)算，即當(dāng)時，有唯一的和（封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（1）結(jié)合律 ； （2）交換律 ；（3）零元律 存在零元素o，使o；（4）負(fù)元律 對于任一元素，存在一元素，使o，且稱為的負(fù)元素，記為（）。則有 o。（II）在中定義一個“數(shù)乘”運(yùn)算，即當(dāng)，時，有唯一的（封閉性），且數(shù)乘運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（5）數(shù)因子分配律 ； （6）分配律 ； （7）結(jié)合律 ； （8）恒等律 ； [數(shù)域中一定有1]則稱為數(shù)域上的線性空間。注意：1）線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因?yàn)橥粋€集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。（2）兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)數(shù)域中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算，而中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。（3）除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運(yùn)算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域時，就稱為實(shí)線性空間；為復(fù)數(shù)域，就稱為復(fù)線性空間。例1． 設(shè)＝{全體正實(shí)數(shù)}，其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為 xy=xy , 證明：是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。[證明] 首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性 ①唯一性和封閉性 唯一性顯然 若x0,y0, ，則有 xy=xy 封閉性得證。②八條性質(zhì)（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2） xy=xy＝y(tǒng)x= yx（3） 1是零元素 x1＝ [xo=x——xo=x－o=1]（4） 是x的負(fù)元素 x＝ [x+y=o ]（5） （xy）xy [數(shù)因子分配律]（6） （x）（x） [分配律]（7） [結(jié)合律]（8） [恒
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