01-線性空間與子空間(完整版)
【正文】 8條性質(zhì)，分兩類]（I）在中定義一個(gè)“加法”運(yùn)算，即當(dāng)時(shí)，有唯一的和（封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（1）結(jié)合律 ； （2）交換律 ；（3）零元律 存在零元素o，使o；（4）負(fù)元律 對(duì)于任一元素，存在一元素，使o，且稱為的負(fù)元素，記為（）。第一講 線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)[知識(shí)預(yù)備]★集合：籠統(tǒng)的說(shuō)是指一些事物（或者對(duì)象）組成 的整體集合的表示：枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有?。則有 o。[證明] 首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性 ①唯一性和封閉性 唯一性顯然 若x0,y0, ，則有 xy=xy 封閉性得證。 （2） ①：設(shè)w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。本課程只考慮有限維情況，對(duì)于無(wú)限維情況不涉及 。則稱為V的一個(gè)基，并稱為該基的基元素。 正對(duì)應(yīng) 正對(duì)應(yīng) （3）顯然，同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的。（2）（－1）x=(－x) 封閉性 V1中元素的負(fù)元素仍在V1中3. 分類：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：{0}和V本身非平凡子空間：除以上兩類子空間4. 生成子空間：設(shè)xx、xm線性無(wú)關(guān)，則dim{L(xx（2） 是V的子空間。、zn2－mV2，使xx 成為基的兩個(gè)條件：1） 它可以線性表示V1+V2中的任意元素2） 線性無(wú)關(guān)顯然條件1）是滿足的，現(xiàn)在證明條件2），采用反證法。、yn1－m成為V1的一個(gè)基 同理： 這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無(wú)關(guān)，可作為V1+V2的一個(gè)基。、yt為V2的基，則xx、xs、yy、xs、yy2. 定理：如下四種表述等價(jià) （1）成為直和 （2） （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）xx、qn2－m使令，則 但根據(jù)基擴(kuò)定理 ， xx、xm、yy三、 基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的，因此，需要研究基改
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