01-線性空間與子空間(專業(yè)版)
【正文】 假設(shè)xx、xs為V1的基，yy數(shù)域K兩種運(yùn)算基一般元素空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C（1）復(fù)數(shù)加法；（2）復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘{(lán)1}復(fù)線性空間1實(shí)數(shù)域R（1）復(fù)數(shù)加法；（2）實(shí)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘{(lán)1,i}實(shí)線性空間22． 坐標(biāo)的定義：稱線性空間的一個基為的一個坐標(biāo)系，它在該基下的線性表示為： 則稱為x在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)或分量，記為 討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。?線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)，使得對于元素有 則稱元素組線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運(yùn)算本身就不滿足。比如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。2． 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。[解] 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡單。三、 基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標(biāo)變換的規(guī)律。、xm、yy、qn2－m使令，則 但根據(jù)基擴(kuò)定理 ， xx、xs、yy、yn1－m成為V1的一個基 同理： 這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無關(guān)，可作為V1+V2的一個基。 成為基的兩個條件：1） 它可以線性表示V1+V2中的任意元素2） 線性無關(guān)顯然條件1）是滿足的，現(xiàn)在證明條件2），采用反證法。、zn2－mV2，使xx（2） 是V的子空間。、xm線性無關(guān)，則dim{L(xx（2）（－1）x=(－x) 封閉性 V1中元素的負(fù)元素仍在V1中3. 分類：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：{0}和V本身非平凡子空間：除以上兩類子空間4. 生成子空間：設(shè)xx則稱為V的一個基，并稱為該基的基元素。 （2） ①：設(shè)w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。則有 o。如果滿足[如下8條性質(zhì)，分兩類]（I）在中定義一個“加法”運(yùn)算，即當(dāng)時，有唯一的和（封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（1）結(jié)合律 ；
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