01-線性空間與子空間-文庫吧資料
2025-08-01 09:58本頁面
【正文】 則 由于基元素的線性無關(guān)性，得到坐標變換關(guān)系 補充：證明對于線性空間的零元素o，均有ko＝o。三、 基變換與坐標變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標變換的規(guī)律。 正對應(yīng) 正對應(yīng) （3）顯然，同一元素在不同坐標系中的坐標是不同的。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。如果K＝C（復(fù)數(shù)域），則該集合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1，空間維數(shù)為1；如果取K＝R（實數(shù)域），則該集合對復(fù)數(shù)加法及實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為{1,i}，空間維數(shù)為2。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個數(shù)相等。則稱為V的一個基，并稱為該基的基元素。對于任意的，都可由以上元素組線性表示， —— 即構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。顯然，這樣的矩陣共有mn個，構(gòu)成一個具有mn個元素的線性無關(guān)元素組。[解] 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡單。本課程只考慮有限維情況，對于無限維情況不涉及 。線性相關(guān)性概念是個非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標。?線性表示：中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。3． 線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。 （2） ①：設(shè)w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。 ②任一元素的負元素也是唯一的。 [證明]（1）采用反證法： ①零元素是唯一的。2． 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。[證明] 首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性 ①唯一性和封閉性 唯一性顯然 若x0,y0, ，則有 xy=xy 封閉性得證。當數(shù)域為實數(shù)域時，就稱為實線性空間；為復(fù)數(shù)域，就稱為復(fù)線性空間。（3）除了兩種運算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。注意：1）線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因為同一個集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。則有 o。1． 線性空間的定義：設(shè)是一個非空集合，其元
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