【正文】 的矩陣為 : 32313121 / 41144112441 0 0 1 10 1 0 00 0 1 0rrrrr?????????????121 1144114411,00C ????????????故12114411441 1 1 1 2 1 3 10 0 1 2 0 2 20 0 2 1 0 2 2B? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???1 0 00 1 00 0 3??????????167。 3 線 性 變 換 線性變換是線性空間上的重要運算 , 本節(jié)介紹線性變換的概念 , 并討論線性變換與矩陣之間的關(guān)系 . 一 . 定義和例子 定義 設(shè) ?是線性空間 VK到 VK的一個映射 , 且滿足??, ??VK, k?K都有 則稱 ?為 VK的一個線性變換 . ?(?+?)= ?(?)+ ?(?) ?(k?)=k?(?) 例如 ?A?Rn?n, 定義 ?(A)=AT, 則 ?為 Rn?n的一個線性變換 . 取 0?VK, ???VK, 定義 ?(?)=0, 則 ?為 VK的一個線性變換 , 稱為零變換 . (2) ?(??)=? ?(?)。 則稱 V為數(shù)域 K上的一個線性空間 . 記為 VK , 或 V. 線性空間也稱為向量空間 , 其元素都稱為向量 . 例如 : 數(shù)域 K上的所有 n維向量組成的集合 Kn, 對向量的加法和乘數(shù)兩種運算 , 構(gòu)成數(shù)域 K上的一個線性空間 . 數(shù)域 K上的所有 m?n矩陣的集合 Km?n, 對矩陣的加法和乘數(shù)兩種運算 , 構(gòu)成數(shù)域 K上的一個線性空間 . 實系數(shù)齊次線性方程組 Ax=0的全體解的集合 U, 對解向量的加法和乘數(shù)兩種運算 , 構(gòu)成實數(shù)域 R上的一個線性空間 . 數(shù)域 K上的所有次數(shù)小于 n的多項式的集合 K[x]n, 對多項式的加法和乘數(shù)兩種運算 , 構(gòu)成 K上的一個線性空間 . 線性空間具有下列簡單性質(zhì) : 1. 令向量是唯一的 . 01=01+02=02 2. 每個向量的負向量是唯一的 . ?1=(?1)+0=(?1)+(?+(?2)) =((?1)+?)+(?2)=0+(?2)=?2 3. 0?=0, k0=0, ???V, k?K 0?+?=0?+1?=(0+1)?=?, 由 0?=0 . 4. 若 k?=0, 則 , k=0或 ?=0. ?=1?=(1/k?k)?=1/k(k?)=1/k?0=0 三 . 子空間 定義 設(shè) U是線性空間 V的一個非空子集 . 如果 U對 V的加法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成線性空間 , 則稱 U是 V的子空間 . 按定義可見 , 集合 {0}是 V的子空間 , 稱之為零子空間 , V也是 V的子空間 . 這兩個子空間稱為 V的平凡子空間 , 其它的稱為非平凡子空間 . ??, ??U, k?K, 都有 ?+??U, k??U 定理 設(shè) U是線性空間 V的一個非空子集 . 則 U是 V的子空間的充分必要條件是 U對 V的加法和乘數(shù)兩種運算是封閉的 . 即 例如 n元實系數(shù)齊次線性方程組 Ax=0的解空間 U是 Rn的子空間 . 設(shè) ?1, ?2,… ?r 是線性空間 VK中的一組向量 , 則 K[x]n是 K[x]的子空間 . Kn?n中所有對稱矩陣構(gòu)成 Kn?n的子空間 . L(?1, ?2,… ?r)={k1?1+k2?2+… +kr?r|k1,k2,… ,kr?K} 是 VK的子空間 . 稱為由 ?1, ?2,… ?r生成的子空間 . 167。 (7) (kl)?=k(l ?) , ???V, k, l?K。 (5) k(?+?)=k?+k? , ?? , ??V, k?K。 (3) V中有零元素 0, 使 ???V有 ?+0=? 。 定義 設(shè) K是一個數(shù)集 , 如果 (2) ?a, b?K, 都有 a+b?K, ab?K, ab?K, 且當 b?0時 , a/b?K, 那么稱 K是一個數(shù)域 . 可見 , 有理數(shù)集 Q, 實數(shù)集 R, 復數(shù)集 C都是數(shù)域 . 數(shù)集 也是數(shù)域 . 可見 , 有無窮多個數(shù)域 . 但任意數(shù)域都包含于有理數(shù)域 . 對幾何空間中的向量 , 實數(shù)域上的 n維向量 , 實數(shù)域上的矩陣等 , 它們的元素間都定義了各自的加法和乘數(shù)兩種運算 , 而且滿足相同的運算規(guī)律 , 這就是線性空間 . 二 . 線性空間的定義和例子 ( 2 ) { a + b 2 |a , b }?? 定義 設(shè) V是一個非空集合 , K是一個數(shù)域 , 如果在V上定義了加法和與 K中數(shù)的乘法兩種運算 , 且滿足 (1) ?+?=?+?(加法交換律 )。第五章 線性空間與線性變換 167。 1 線性空間的概念 線性空間也是線性代數(shù)的中心內(nèi)容之一 , 本章介紹線性空間的概念及其簡單性質(zhì) , 討論線性空間的基和維數(shù)的概念 , 介紹線性變換的概念和線性變換的矩陣表示 . 一 . 數(shù)域 (1) 0, 1?K 。 (2) (?+?)+?=?+(?