【正文】 29 2 2 212 nX x x x? ? ? ?11( , , ) ( , , )nnx x x Y y y?? ，2211( , ) ( ) ( )nnd X Y X Y x y x y? ? ? ? ? ? ?現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 239 若 X = (x1, …… , xn)， Y = (y1, …… , yn)為 Rn 中的兩個向量 ， 則其內(nèi)積 (inner product)為 內(nèi)積的運算具有下面幾個基本性質(zhì) 。 25 一般而言 ， dim R2 =2 dim R3 = 3 dim Rn =n 。 若基底所含的向量個數(shù)為 n， 則稱 n 為 V 的維度(dimension)或 dim V =n， 並稱 V 為 n 維向量空間 (ndimensional vector space)， 至於零空間 {O} 可定義其維度為 0。 24 練習四： (同練習三 (a)) 在 R2中， X1= (1, 2)， X2= (1, 0) ， X3= (2, 1)，已知X1 、 X2與 X3為線性相依，試證明定理 24成立 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 233 若向量空間 V 的子集合 S = {X1, X2, …… , Xn }滿足下面兩個性質(zhì) (1) S 中的向量為線性獨立 (2) V = S 則稱 S 為 V 的一個基底 (basis)。 步驟二：若上述齊次方程組僅由明顯解 ， 則此組向量集合為線性獨立 ， 否則為線性相依 。 再者 ， 若其中某個向量 Xi 為零向量 ， 則 X1, …… , Xk 必為線性相依 。 否則稱 X1, … , Xk 為 線性獨立 (linearly independent)。 W =X1,…… ,Xk is spanned by X1, …… , Xk or X1, …… , Xk span W 25 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 222 練習二 (a) (例題 210) () 檢查 X1= (1, 1, 1)， X2= (1, 2, 3)， X3= (0 ,1 , 0)， 是否可以造成 R3? (b) 在 R3中 ， u1= (1, 1, 0)， u2= (0, 1, 1)， u3= (1 ,1 1) ， 試問 u1= (1, 0, 0)是否可以由 u1, u2， u3 所 造成 ? 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 223 練習二 (例題 210) ()： 觀念： 令 X= (a,b,c) , 其中 a, b, c為任意實數(shù)，看 X是否能用 X1 , X2 , X3的線性組合表示 求解：令 c1X1+ c2X2 +c3X3 = X =(a,b,c) , 則 c1 + c2 ＝ a c1 + 2c2 + c3 ＝ b c1 + 3c2 ＝ c c1 ＝ (3/2)a 1/2c c2 ＝ (1/2)(ca) c3 = b(1/2)c(1/2)a 故 X1, X2 , X3可以 造成 R3 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 224 設(shè) X1, …… , Xk 為向量空間 V 的向量 。 我們稱 W =X1,…… ,Xk為由 X1, …… , Xk 所 造成 (is spanned by)的子空間 。 24 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 220 若 X1, X2, …… , Xk 為向量空間 V 的一組向量 ， 則 X1, X2, …… , Xk 的 線性組合 所構(gòu)成的集合 ， 以符號 X1, …… , Xk 表之 ， 。 AY=O ?A(X+Y) =AX+AY = O + O =O ? X+Y ? W (定理 23(1)成立 ) (ii) 若 c ? R ? 0, 且 X ? W ,則 AX=O ? A(cX) = c A(X) = cO=O ? cX ? W (定理 23(2)成立 ) 故 W為 Rn 的一個子空間 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 217 例題： 設(shè) W= {(a,b,0)| a,b ?R} ,W是否 為 R3的一個子集合？ (1) 令 w1= (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W w2= (a2,b2,0) , where a2,b2? W ? w1+ w2= (a1+a2,b1+b2,0) ?W 條件 (1)成立 (2) 令 w1= (a1,b1,0) , where a1,b1 ? W且 c ? R ? cw1= c(a1,b1,0) , = (c a1, c b1,0) ? W 條件 (2)成立 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 218 練習一 下列 R2的子集 ， 在一般向量之加法與純量乘積運算下 ， 哪些為 R2的子空間 ? (a) W1={ (x,y) | x?0 , y?R} (b) W2={ (x,y) | x?0 , y ?0 } (c) W3={ (x,y) | x=0 , y?R} 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 219 22 線性獨立與基底 設(shè) V 為一向量空間 ， X, X1, X2, …… , Xk， 為 V 中一組向量 。 . X、 Y? W則 X ? Y ? W (2)若 c 為任意實數(shù) ， X 為 W 中任意向量 ， 則 c?X亦在 W 內(nèi) 。 23 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 215 設(shè) V 為一向量空間 ， 其運算為 ? 與 ?。 若 W 在 V的兩種運算下亦成為一向量空間 ， 則稱 W 為 V 的一個 子空間 (subspace)。 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 27 設(shè) 為兩平面向量 ， a 為一實數(shù) ， 則向量的 加法運算 與 純量乘法 運算可定義為 21 1122xyXYxy? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?與112212xyXYxyaxaXax????? ???????? ????純量乘積 (Scalar Multiple) 現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 28 圖 23 圖 24 x1 x2 X Y o 12X?X ?2X X 2X 32 X?現(xiàn)代管理數(shù)學． Chapter 2 向量空間與線性轉(zhuǎn)換 29 設(shè) X、 Y、 Z 為 平面向量 ， c 與 d 為任意實數(shù) ， 則X + Y 亦為平面向量 (加法運算具封閉性 )， 且 (1) X + Y = Y + X (2) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z