[工學(xué)]第1_2章線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換趙修改-文庫(kù)吧資料
2024-10-25 00:18本頁(yè)面
【正文】 T：設(shè) A ?Rn n是一個(gè)給定的 矩陣， ?X?Rn， T(X)=AX。 1 ?維數(shù)定理 ： dimW1＋ dimW2=dim（ W1＋ W2）＋ dim（ W1?W2） 證明： 4 、子空間的直和 分析 ： 如果 dim（ W1?W2） ?0， 則 dim（ W1＋ W2） ?dimW1＋ dimW2 所以： dim（ W1＋ W2） =dimW1＋ dimW2 ? dim（ W1?W2） =0 ? W1?W2={0} 直和的定義 ： 若 dim（ W1?W2） =0 ， 則和為直和 W=W 1＋ W2=W1?W2， 子空間的“和”為“直和”的充要 –條件 ： Theorem 設(shè) W=W1＋ W2， 則下列各條等價(jià)： （ 1） W=W1?W2 （ 2） ?X ?W， X=X 1＋ X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋ dimW2 例 設(shè)在 Rn n中 ， 子空間 W 1={A ?AT =A } ， W2={B ?BT= –B }， 證明 Rn n=W1?W2。 比較：集合 W1?W2和集合 W1＋ W2。 ?r是 Span{?1， ?2， ?m的最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 ， 則 ?Span{?1， ?2， ?m }的一組基； 2） 如果 ?1， ?2， +km?m| ki} ? 生成子空間的重要的性質(zhì)： 1） 如果 ?1， ?2， ?m }=L(?1， ?2， 子空間的判別方法可以作為判別線(xiàn)性空間的方法 子空間和非子空間的例子： ? V={x=(x1， x2， 0｝ ?R 3， ? V={x=(x1， x2， 1｝ ?R 3， ?矩陣 A?R m n， ?齊次線(xiàn)性方程組 AX=0的解集合： S=｛ X ： AX=0｝ ?Rn， ?非齊次線(xiàn)性方程的解集合： M=｛ X ： AX=b｝ ?Rn， 重要的子空間： 生成子空間 ? 設(shè)向量組 ｛ ?1， ?2， 判別方法： Important Theorem W是子空間 ? W對(duì) V的線(xiàn)性運(yùn)算封閉 。 167。 同構(gòu)保持線(xiàn)性關(guān)系不變。 ? n} 由此建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ? ? ? ? V， ?X ?Fn， ?（ ?） =X ?（ ?1+?2） =?（ ?1） +?（ ?2） ?（ k?） =k?（ ?） 在關(guān)系 ?下，線(xiàn)性空間 V和 Fn同構(gòu)。 2. 求向量 在基（ II）的坐標(biāo) Y。 nR*例 3 設(shè) R2?2中向量組 {Ai} ???????3120A2???????2111A1 ???????1013A3 ??????????7342A41 討論 {Ai}的線(xiàn)性相關(guān)性 . 2求向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 . 3把其余的向量表示成極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的 線(xiàn)性組合 . 六、基變換和坐標(biāo)變換 討論： 不同的基之間的關(guān)系 同一個(gè)向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系 1 基變換公式 設(shè)空間中有兩組基： }, . . . ,{ n21 ???nnnn C ?? ), . . . ,(), . . . ,( 2121 ??????過(guò)渡矩陣 C的性質(zhì)： ? C為可逆矩陣 ? C的第 i列是 ? i 在基 {?i }下的坐標(biāo) 則 過(guò)渡矩陣 },...,{ 21 n???2 坐標(biāo)變換公式 已知 ?空間中兩組基： 滿(mǎn)足 : ?: 。 ??????5413要點(diǎn)： 坐標(biāo)與基有關(guān) 坐標(biāo)的表達(dá)形式 例 2 設(shè)空間 F[x]4的兩組基為： {1， x， x2， x3}和 {1，（ x 1） 1，（ x 1） 2，（ x 1） 3} 求 f（ x） =2+3x+4x2+x 3在這兩組基下的坐標(biāo) 。 五、坐標(biāo) 坐標(biāo)的來(lái)歷： 設(shè) {?1， ?2， … ， ? n } 是空間 V的一組基， ?? ?V, ?可以由基 ?1， ?2， … ， ? n唯一線(xiàn)性表示 ?=x1?1+x2?2+… +xn? n 則 x1 ， x2， … ， xn 是 ?在基 {?i}下的坐標(biāo)。 因此，要研究線(xiàn)性空間，只需要研究它的最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 即為基 (basis) 四、線(xiàn)性空間的基和維數(shù) 基 (basis)：線(xiàn)性空間的極大無(wú)關(guān)組； 維數(shù) (dimension)：基中向量的個(gè)數(shù)； 常見(jiàn)線(xiàn)性空間的基與維數(shù)： Fn，自然基 {e1， e2， …,e n}， dim Fn =n Rm?n ，自然基 {Eij}， dim Rm?n =m?n。（其工作可由多人合力完成） 向量組 ?1， ?2， … ， ?s線(xiàn)性無(wú)關(guān) 任何一個(gè)向量不能由其余向量線(xiàn)性表示 要使 只有系數(shù)都為 0 向量組 ?1， ?2， … ， ?s線(xiàn)性無(wú)關(guān) 其中一個(gè)向量可以由其余向量線(xiàn)性表示 要使 必須有非零系數(shù) ?,0. . .2211 ???? sskkk ????,0. . .2211 ???? sskkk
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