[工學(xué)]第1_2章線性空間與線性變換趙修改(編輯修改稿)
2024-11-15 00:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( n21 ????? Y). . .( n21 ????? X=CY },...,{ 21 n???nnnn C ?? ), . . . ,(), . . . ,( 2121 ?????? 例 已知空間 R中兩組基 （ I） {Eij} （ II）； { } 1. 求從基（ I）到基（ II）的過渡矩陣 C。 2. 求向量 在基（ II）的坐標(biāo) Y。 ??????0012??????0110??????1300??????3000??????2137 線性空間 V與 Fn的同構(gòu) 坐標(biāo)關(guān)系 V Fn V的 基 {?1， ?2。 ? n} 由此建立一個(gè)一一對應(yīng)關(guān)系 ? ? ? ? V， ?X ?Fn， ?（ ?） =X ?（ ?1+?2） =?（ ?1） +?（ ?2） ?（ k?） =k?（ ?） 在關(guān)系 ?下，線性空間 V和 Fn同構(gòu)。 同構(gòu)的性質(zhì) 定理 :V 中向量 {?1， ?2， … ?n}線性相關(guān)?它們的坐標(biāo) {X1 , X2, … ,X n}在 Fn中線性相關(guān)。 同構(gòu)保持線性關(guān)系不變。 應(yīng)用 ： 借助于空間 Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法研究一般線性空間的線性關(guān)系。 167。 子空間 概述： 線性空間 V中，向量集合 V可以有集合的運(yùn)算和關(guān)系： Wi ?V， W1?W2， W1?W2， 問題： 這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為線性空間 ？ 子空間的概念 定義： 設(shè)非空集合 W?V， W?? ， 如果 W中的元素關(guān)于 V中的線性運(yùn)算為線性空間 ，則稱 W是 V的子空間 。 判別方法： Important Theorem W是子空間 ? W對 V的線性運(yùn)算封閉 。 子空間本身就是線性空間 。 子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方法 子空間和非子空間的例子： ? V={x=(x1， x2， 0｝ ?R 3， ? V={x=(x1， x2， 1｝ ?R 3， ?矩陣 A?R m n， ?齊次線性方程組 AX=0的解集合： S=｛ X ： AX=0｝ ?Rn， ?非齊次線性方程的解集合： M=｛ X ： AX=b｝ ?Rn， 重要的子空間： 生成子空間 ? 設(shè)向量組 ｛ ?1， ?2， ， ? m｝ ?V， 由它們的一切線性組合生成的子空間： Span{?1， ?2， ， ?m }=L(?1， ?2， ， ?m) = ｛ k1?1+k2?2++km?m| ki} ? 生成子空間的重要的性質(zhì)： 1） 如果 ?1， ?2， ， ?m線性無關(guān) ， 則其為生成子空間 Span{?1， ?2， ， ?m }的一組基； 2） 如果 ?1， ?2， ， ?r是向量組 ?1， ?2， ， ?m的最大線性無關(guān)組 ， 則 ?Span{?1， ?2， ， ?m } ??1， ?2， ， ?r是 Span{?1， ?2， ， ?m }的一組基 子空間的“交空間”與“和空間” 討論： 設(shè) W 1? V， W2 ? V， 且都是子空間 ， 則W1?W2和 W1?W2是否仍然是子空間 ？ 1. （ 1） 交空間 交集： W1?W2=｛ ?? ??W1 而且 ??W 2｝ ?Vn（ F） W1?W2是子空間 ， 被稱為 “ 交空間 ” （ 2） 和空間 和的集合： W1＋ W2=｛ ?=X1＋ X2?X1?W1， X2?W2｝ ， W1?W2 ? W1＋ W2 W1＋ W2是子空間 ， 被稱為 “ 和空間 ” ， W1?W2不一定是子空間， W1?W2 ? W1＋ W2 例 設(shè) R3中的子空間 W1=L{e1}， W2=L{e2} 求和空間 W1＋ W2。 比較：集合 W1?W2和集合 W1＋ W2。 如果 W1=Span{?1， ?2， … ， ? m }， W2=Span{?1， ?2， … ， ? k}， 則 W1＋ W2=Span{?1， ?2， … ， ?m， ?1， ?2， … ， ? k } 3 、維數(shù)公式 子空間的包含關(guān)系 ： )F(VWWWWWW n????? 212121dimW1?W2 ? dim Wi ? dimW1＋ W2 ? dimVn（ F）。 ?維數(shù)定理 ： dimW1＋ dimW2=dim（ W1＋ W2）＋ dim（ W1?W2） 證明： 4 、子空間的直和 分析 ： 如果 dim（ W1?W2） ?0， 則 dim（ W1＋ W2） ?dimW1＋ dimW2 所以： dim（ W1＋ W2） =dimW1＋ dimW2 ? dim（ W1?W2） =0 ? W1?W2={0} 直和的定義 ： 若 dim（ W1?W2） =0 ， 則和為直和 W=W 1＋ W2=W1?W2， 子空間
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