雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器(編輯修改稿)
2025-07-26 21:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的膽汁關(guān)系，消除了多只變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。為了將S平面的整個(gè)虛軸壓縮到軸上的/T到/T段上，可以通過(guò)以上的正切的變換實(shí)現(xiàn) =2/Ttan(T/2) 式中，T仍是采樣間隔。當(dāng)由/T經(jīng)過(guò)0變化到/T時(shí)，由經(jīng)過(guò)0變化到+，也即映射了整個(gè)軸。將上式寫(xiě)成 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和，令=s, =S1,則得S 再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：z= 從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為。 以上兩式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此成為雙線性變換。依靠雙線性變換是建立起來(lái)s平面和z平面的單值映射關(guān)系，由上式我們可以得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系： 從上式可知，當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，整個(gè)軸是單值地對(duì)應(yīng)于單位元的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，它不存在頻率混淆問(wèn)題。然而，付出的代價(jià)是在頻率軸上引入了失真。因此，只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時(shí)，使用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的。僅在零頻率附近時(shí)與之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。 雙線性變化法的頻率關(guān)系由于S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關(guān)系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過(guò)預(yù)畸變來(lái)校正。用雙線性變換設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)上式的頻率預(yù)畸變，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過(guò)雙線性變換公式球的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過(guò)雙線性變換，正好將這些頻率點(diǎn)映射到我們所需要的位置上。下面我們利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。a)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：同代截止頻率、同代衰減、阻帶截止頻率、阻帶衰減。b)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。采用雙線性變換法，便捷頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 c)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。d）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)反函數(shù)Ha(z)。H(z)=Ha（S）| 用雙線法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的步驟MATLAB中設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的具體步驟如下：(1) 把給出的模擬濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；(2) 將數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換模擬濾波器的性能指標(biāo)；(3) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過(guò)濾波器結(jié)束選擇函數(shù)，來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)n和固有頻率wn；(4) 由最小階數(shù)n得到巴特沃斯模擬低通濾波器原型；(5) 模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換；(6) 運(yùn)用雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。三、 MATLAB程序 fs=1000。%采樣頻率fp=100。fst=300。wp=2*p
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