【文章內容簡介】 極點在處，有N1階零點位于有限z平面的任何位置。 FIR濾波器的特點歸納如下：(1) 系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)在有限個n處不為零。(2) 系統(tǒng)函數H(z)在處收斂，對因果系統(tǒng)而言，極點全部位于z=0處；而在的有限z平面只有零點。 (3)結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋。但在有些結構上，例如頻率采樣結構，也可以包含反饋的遞歸部分。FIR濾波器實現(xiàn)的基本結構有【10】：(1)FIR濾波器的橫截型結構表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可寫作： () 直接由差分方程得出的實現(xiàn)結構如圖21所示： FIR濾波器的橫截型結構若h(n)呈現(xiàn)對稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位，則可以簡化加橫截型結構，下面分情況討論： N為奇數時FIR濾波器實現(xiàn)結構 N為偶數時FIR濾波器實現(xiàn)結構(2)FIR濾波器的級聯(lián)型結構將H(z)分解成實系數二階因子的乘積形式： () 這時FIR濾波器可用二階節(jié)的級聯(lián)結構來實現(xiàn)，F(xiàn)IR濾波器的級聯(lián)結： FIR濾波器的級聯(lián)結構這種結構的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時，可以采用這種結構它。但是這種結構所需要的系數比卷積型系數h(n)要多，因而所需的乘法次數也比卷積型的多。另外，當H(z)的階次較高時，也不易分解。因此，普遍應用的是直接型結構【10】。第二節(jié) 數字濾波器的設計原理一、濾波器的設計步奏數字濾波器根據其單位脈沖響應函數的時域特性可分為兩種，即有限長沖激響應(FIR)濾波器和無限長沖激響應(IIR)濾波器。其中，F(xiàn)IR濾波器的脈沖響應函數是有限長的，且沒有輸出到輸入的反饋，因此在工程上一般采用的是非遞歸方式實現(xiàn)，設計方法一般為窗函數法和頻率采樣法。而IIR濾波器的脈沖響應函數是無限時間的，并且需要遞歸來實現(xiàn)，因此有時也稱之為遞歸濾波器。IIR濾波器的設計一般采用脈沖響應不變法和雙線性變換法。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，也可采用工具箱直接對濾波器進行設計。 數字濾波器設計的基本步驟如下【11】：(1) 確定指標按照實際的任務要求，確定濾波器的性能指標。一般給出了濾波器的幅度指標和相位指標，其中幅度指標有兩種形式。第一種是絕對幅度指標，第二種是相對指標，它以分貝的形式給出，這種指標比較流行。除了幅度和相位以外，還需給出濾波器的通帶頻率、截止頻率等。 (2)逼近用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)去逼近這個性能指標。(3)實現(xiàn)系統(tǒng)函數用一個有限精度的算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數，包括選擇運算結構與選擇合適的字長以及有效的數字的處理方法等。(4)技術的實現(xiàn)與仿真根據所設計的濾波器的系統(tǒng)函數，在計算機軟件上或者專用的數字濾波器硬件上引用多個信號通過該濾波器，通過分析濾波以后的結構來判斷濾波器的性能。二、濾波器的性能指標我們在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。在通帶內 ： ()在阻帶中： ()其中為通帶截止頻率, 為阻帶截止頻率，為通帶誤差, 為阻帶誤差。與模擬濾波器類似，數字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為。各種理想數字濾波器的幅度頻率響應如圖28所示： 各種理想數字濾波器的幅度頻率響應第三節(jié) IIR濾波器與FIR濾波器的分析比較選擇哪一種濾波器取決于每種類型濾波器的優(yōu)點在設計中的重要性。為了能在實際工作中恰當地選用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點比較分析如下：(1)選擇數字濾波器是必須考慮經濟問題，通常將硬件的復雜性、芯片的面積或計算速度等作為衡量經濟問題的因素。在相同的技術指標要求下，由于IIR數字濾波器存在輸出對輸入的反饋，因此可以用較少的階數來滿足要求，所用的存儲單元少，運算次數少，較為經濟。通常說FIR濾波器的階數要高5～10倍左右。(2)在很多情況下，雖然FIR數字濾波器的成本較高，但是其能獲得線性相位的高這一點是非常值得的。而對于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴重。如果要使IIR濾波器既滿足幅度特性的要求，又能夠獲得線性相位，那么就必須在其后面加全通網絡進行相位校正，這無疑會大大加大濾波器設計的復雜性。從這一點來看，F(xiàn)IR濾波器顯然要優(yōu)于IIR濾波器。(3) FIR濾波器主要采用非遞歸結構，所以不存穩(wěn)定性的問題，并且在進行有限精度運算中誤差也較小。而IIR濾波器必須采用遞歸結構，極點必須在z平面單位圓內才能穩(wěn)定。有時運算會進行四舍五入，因此有可能產生寄生激蕩。(4)對于FIR濾波器，由于沖激響應是有限長的，其差分方程的運算是一種卷積和運算，因此可以通過快速傅里葉變換算法和其他快速算法來講計算，運算速度快得多。但是IIR濾波器不能進行這樣的運算。(5)設計方法上，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設計的現(xiàn)成公式、數據和表格，因而計算量較小，對計算工具要求不高?？梢杂猛暾脑O計公式來設計各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法(如巴特沃斯，切比雪夫等)，就可以直接把技術指標帶入一組設計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數的系數(或極點和零點)。FIR濾波器則幾乎沒有現(xiàn)成的設計公式。僅僅只有窗函數的計算公式，但如果要計算阻帶和通帶的衰減時就無公式可用。所以FIR濾波器設需要借助于計算機程序，因而計算復雜，工作量大。(6)IIR濾波器設計規(guī)格化、按頻率僅可分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。而FIR濾波器則靈活很多。因此FIR濾波器可設計出理想正交變換器、理想微分器、線性調頻器等各種網絡，適應性很廣。而且，目前已經有很多FIR濾波器的程序軟件可供使用【12】。表21 兩種濾波器特點比較分析FIR濾波器IIR濾波器設計方法一般無解析的設計公式，要借助計算機程序來完成利用AF的成果，可簡單、有效地完成設計設計結果可得到幅頻特性和線性相位只能得到幅頻特性，相位特性失真，如需要線性相位，須用全通網絡校準，但因此會增加濾波器復雜性和階次穩(wěn)定性極點全部在原點(永遠穩(wěn)定)無穩(wěn)定性問題有穩(wěn)定性問題階數高低結構非遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng)運算誤差一般無反饋，運算誤差小有反饋，由于運算中的四舍五入會產生極循環(huán)第4節(jié) 本章小結本章重點討論了FIR和IIR數字濾波器的結構特點，同時，為了能更好地設計濾波器，介紹了設計濾波器的具體步奏和設計原理。因為FIR濾波器是線性相位的，所以對各類FIR濾波器的頻譜圖進行了分析。在本章的最后，比較了FIR濾波器和IIR濾波器優(yōu)缺點，以便在技術指標明確的同時能最大的節(jié)約成本。第三章IIR濾波器的設計利用模擬濾波器成熟的理論和設計方法來設計IIR數字濾波器，首先是按任務要求確定數字濾波器的技術指標，然后將這個技術指標變換成相應的模擬濾波器的技術指標，再根據該技術指標設計一個模擬原型濾波器，得到其系統(tǒng)函數H(s),最后按一定標準將模擬原型濾波器的系統(tǒng)函數H(s)變換成數字濾波器的系統(tǒng)函數好H(z),實際上 變換是把s平面映射到z平面。第一節(jié) 脈沖響應不變法的基本原理一、變化原理 脈沖響應不變法是從濾波器的時間特性上模仿，用脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器，就是使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖擊響應h(t). 將模擬濾波器的沖擊響應h（t）進行等間隔采樣，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于h(t) 的采樣值，即滿足 () 式中，T是采樣周期，因此，脈沖響應不變法是一種時域上的轉換方法【13】。利用脈沖響應不變法將模擬濾波器變換成數字濾波器，實際上是先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數H(s)作周期延拓，再經過z=的影射變化，從而得到數字濾波器的系統(tǒng)函數.二、混疊失真假設s平面上，s在軸上取值；z平面上，z在單位圓周上取值。: ()這就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器的頻率響應的周期延拓。因此，只有當模擬濾波器的頻率響應是受限于某一頻帶范圍內，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即滿足: ()才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應而不產生混疊失真，既有 ()但是，任何一個實際的模擬濾波器的頻率響應都不可能是嚴格帶限的，變換后不可避免的產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，這種頻譜混疊現(xiàn)象，使得設計出的數字濾波器的頻率響應不能很好地重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，在附近會程度不同的偏離模擬濾波在附近的頻率特性，而且嚴重時會使數字濾波器不滿足給定的技術指標。只有當模擬濾波器的頻率響應在超過折疊頻譜后衰減很大、很快時，頻譜混疊失真才會小，在這種情況下，采用脈沖相應不變法設計數字濾波器才能得到良好效果【13】。將用脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器的步驟如下：（1）確定數字濾波器的一組通、阻帶截止頻率，通帶內容許的最大衰減，組袋內容許的最小衰減。（2）采用變換公式把數字濾波器的這組頻率指標變換成相應的模擬濾波器的一組頻率指標，而通帶最大容許衰減與阻帶最小容許衰減不變。（3）根據模擬濾波器的技術要求，設計其系統(tǒng)函數。（4）由求數字濾波器的系統(tǒng)函數。（5）利用校核所設計的數字濾波器是否滿足技術指標要求。 主要特點（1）脈沖響應不變法使得數字濾波器的脈沖響應完全模仿模擬濾波器的沖擊響應，也就是說時域逼近良好，數字濾波器保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性。（2）數字頻率和模擬頻率坐標是線性變換，即，這樣，當模擬濾波器的頻率響應是充分帶限的，即其最高頻率時，用脈沖響應不變法設計的數字濾波器將不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，既有 () 如果模擬濾波器是線性相位的低通濾波器，通過變換后，得到的數字濾波器仍然是線性相位的。（3）脈沖響應不變法最主要的缺點是由于頻率響應的周期延拓而造成的混疊效應，因此這種方法只適合于用來設計帶限的濾波器，如衰減特性很好的低通和帶通濾波器，高于折疊頻率的部分衰減越大，混疊效應越小，即失真越小。而高通和帶阻濾波器則不宜采用脈沖響應不變法來設計，否則要在其前面加保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，但這會增加系統(tǒng)的成本和復雜性【14】。四、 MATLAB（脈沖響應不變法）設計濾波器（1）將數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標。（2）設計模擬濾波器的。（3）將轉換成數字濾波器的。設計要設計的數字低通濾波器的的技術指標為，再根據得到模擬低通濾波器的的技術指標為。比如用脈沖響應不變法設計一個200Hz的數字低通濾波器，采樣頻率為1000Hz，原程序代碼如下 [z,p,k]=buttap(3)。 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 [bt,at]=lp2lp(b,a,200*2*pi)。 [bz,az]=impinvar(bt,at,1000)。 freqz(bz,az,512,1000)結果如圖所示： 脈沖響應不變法設計低通濾波器第二節(jié) 雙線性不變法的基本原理脈沖響應不變法是使數字濾波器在時域上較好的模仿模擬濾波器，但是由與S平面到z平面的映射具有多值性，若模擬濾波器的頻率響應不是嚴格帶限與折疊頻率之內，就會使得設計出的數字濾波器不可避免地出現(xiàn)頻譜的混疊現(xiàn)象。采用雙線性變換法能夠很好的克服這一缺點。一、變換原理雙線性變換法是使數字濾波器的頻率響應模擬模擬濾波器的頻率響應的一種變換方法。這種方法的基本原理是：首先把整個s平面（）壓縮變換到某一中介平面S1()的一條從到，寬度為的橫寬里，且使是平面中的這條橫帶與s平面有單值對應關系，然后在通過標準變換關系將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面與z平面成為一一對應的單值映射關系。消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，從而克服了脈沖響應不變法帶來的缺點。這同時也是雙線性變換法的最大優(yōu)點【15】。二、主要優(yōu)缺點由于s平面和z平面之間的單值映射關系，雙線性變換法除能滿足對變換關系的兩點要求之外，還克服了脈沖響應不變法存在的頻率響應的混疊現(xiàn)象，這時雙線性變換法的最大優(yōu)點?？芍M角頻率與數字頻率之間變換關系為: () 它表明s平面和z平面是單值的一一對應關系，s平面的整個軸單值對應與z平面圓的一周，也就是說頻率軸是單值變換關系．三、MATLAB(雙線性變化法)設計數字低通濾波器