【文章內(nèi)容簡介】 濾波器，是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中最基本的元件，它可以在保證任意幅頻特性的同時具有嚴格的線性相頻特性，同時其單位抽樣響應(yīng)是有限長的，因而濾波器是穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此， FIR 濾波器在通信、圖像處理、模式識別等領(lǐng)域都有著 廣泛的應(yīng)用。 濾波器設(shè)計是根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。 FIR 濾波器的特點 有限長單位沖激響應(yīng)（ FIR）濾波器有以下特點： (1) 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) ()hn 在有限個 n 值處不為零； (2) 系統(tǒng)函數(shù) ()Hz在 0z? 處收斂，極點全部在 z = 0 處（因果系統(tǒng)）； (3) 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣 結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。 設(shè) FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng) ()hn 為一個 N 點序列， 01nN? ? ? ，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ( ) ( )H z h n z n?? ? ?? () 就是說，它有（ N— 1）階極點在 z = 0 處，有（ N— 1）個零點位于有限 z 平面的任何位置。 優(yōu)點 ： (1) 很容易獲得嚴格的線性相位， 避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； (2) 可得到多帶幅頻特性； (3) 極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題； (4) 任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足； 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 10 頁 (5) 無反饋運算，運算誤差小。 缺點： (1) 因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價； (2) 無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解析設(shè)計公式，要借助計算機輔助設(shè)計程序完成。 FIR 濾波器的種類 數(shù)字集成電路 FIR 濾波器 一種是使用單片通用 數(shù)字濾波器 集成電路，這種電路使用簡單，但是由于字長和階數(shù)的規(guī)格較少，不易完全滿足實際需要。雖然可采用多片擴展來滿足要求，但會增加體積和功耗，因而在實際應(yīng)用中受到限制。設(shè)計數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù) H(z)具有指定的頻率特性。 DSP 芯片 FIR 濾波器 另一種是使用 DSP芯片。 DSP芯片有專用的數(shù)字信號處理函數(shù)可調(diào)用，實現(xiàn) FIR濾波器相對簡單，但是由于程序順序執(zhí)行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系統(tǒng)的 DSP芯片，其編程指令也會有所不同，開發(fā)周期較長。 可編程 FIR 濾波器 還有一種是使用可編程邏輯器件， FPGA／ CPLD。 FPGA有著規(guī)整的內(nèi)部邏輯塊整列和豐富的連線資源，特別適合用于細粒度和高并行度結(jié)構(gòu)的 FIR濾波器的實現(xiàn)，相對于 串行運算主導(dǎo)的通用 DSP芯片來說，并行性和可擴展性都更好。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 11 頁 4 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計 FIR濾波器設(shè)計的任務(wù)是選擇有限長度的 ()hn ，使傳輸函數(shù) ()jwHe 滿足一定的幅度特性和線性相位要求。由于 FIR 濾波器很容易實現(xiàn)嚴格的線性相位，所以 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計的核心思想是求出有限的脈沖響應(yīng)來逼近給定的頻率響應(yīng)。 設(shè)計過程一般包括以下三個基本問題： (1) 根據(jù)實際要求確定數(shù)字濾波器性能指標； (2) 用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng) 函數(shù)去逼近這個理想性能指標； (3) 用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個傳輸函數(shù)。 窗函數(shù)法 設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器的最簡單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱之為傅立葉級數(shù)法。 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計首先給出要求的理想濾波器的頻率響應(yīng) ()jwdHe ,設(shè)計一個 FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng) ()jwHe ，去逼近理想的濾波響應(yīng) ()jwdHe 。然而，窗函數(shù)法設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器是在時域進行的，因而必須由理想的頻 率響應(yīng) ()jwdHe 推導(dǎo)出對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)()dhn，再設(shè)計一個 FIR數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng) ()hn 去逼近 ()dhn， 設(shè)計過程如 圖 。 * ( )( ) ( ) ( ) ( )I D T F F T w n D T F TjjddH e h n h n H e?????? ???? ???? 圖 窗函數(shù)法設(shè)計過程 加窗的作用是通過把理想濾波器的無限長脈沖響應(yīng) ()dhn乘以窗函數(shù) ()wn來產(chǎn)生一個被截斷的脈沖響應(yīng)，即 ( ) ( ) ( )dh n h n w n? 并且對頻率響應(yīng)進行平滑。 Matlab工具箱提供的窗函數(shù)有：矩形窗 (Rectangular window)、三角窗 (Triangular window)、布拉克曼窗(Blackman window)、漢寧窗 (Hanning window)、海明窗 (Hamming window)、凱塞窗 (Kaiser window)、切比雪夫窗 (Chebyshev window)。 矩形 窗 矩形 窗的窗函數(shù)為 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 12 頁 ? ? 11 20RNnn????????? 其 他 () 其頻譜的幅度函數(shù)為 ? ? ? ?? ?s in 2s in 2R NW ?? ?? () 海寧 (Hanning)窗與漢明 (Hamming)窗 窗函數(shù) ? ? 211 c o s 120 nNa a nNH n ?? ?????? ?? ? ????????其 他 () 式中，當 ?a 時為海寧窗，當 )(054?a 時為漢明窗。 海寧窗頻譜的幅度函數(shù)為 ? ? ? ? ?????? ?????? ????????? ???? NWNWWW RRRH ?????? () 當 1?N 時， ? ? NN ?? 212 ?? ，則上式成為 ? ? ? ? ?????? ?????? ???????? ??? NWNWWW RRRH ?????? () 布來克曼窗 (Blackman) 布來克曼窗函數(shù)為 ? ? 2 4 10 . 4 2 0 . 5c o s 0 . 0 8c o s1 1 20n n NnNNB n??? ?? ? ?????????其 他 () 其頻譜的幅度函數(shù)為 ? ? ? ? ?????? ?????? ????????? ???? NWNWWW RRRB ?????? ?????? ?????? ????????? ??? NWNW RR ???? () 如圖 所示，該窗函數(shù)由于項數(shù)增加，旁瓣之間抵消作用增強，主瓣寬度為 N?12 。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 13 頁 z (a) 時間序列 (b) 頻譜的幅度函數(shù) 圖 布來克曼函數(shù) 凱澤 窗 (Kaiser) 凱澤窗是利用貝塞爾函數(shù)逼近得到的一個理想窗 ,其函數(shù)形式如下 ? ? ? ?? ?? ????020 1211INnInK?????? ???? () 式中，為零階貝塞爾函數(shù)，為一個可以自由選擇的參數(shù)，它可以調(diào)節(jié)主瓣與旁瓣的寬度。 當 ? ? 21?? Nn 時 , ? ?? ? 12 1 00 ???????? ? ??? IINK。 當 n 從 ? ?21?N 向兩邊變化時 ,逐步減小， ??0K? 參數(shù) ? 越大， ??nK? 變化越快 。 當 0?n 或 1??Nn 時， ? ? ? ? ? ???? 0110 INKK ??? 參數(shù) ? 越大，其頻譜的旁瓣越大，主瓣寬度也隨之增加，因此 ? 值可以在考慮主瓣與旁瓣的影響時進行選擇。例如，當0?? 時，凱澤窗相當于矩形窗；當 ?? 時，它相當于布來克曼窗； ?? 時，它近似為漢明窗。表 給出不同值下凱澤窗的特性。 ??xI0 是第一類零階貝塞爾函數(shù)，用下述快速收斂級數(shù)可以計算出任意所需要的精度 ? ? ? ?? ???????? 20 !21 KxxIK () 這個無窮級數(shù)可以用有限項去近似，項數(shù)決定于所需要的精度。一般可取 1525 項。 ??nWB n 0 ? ??jBeW 0 ? N?6? N?6 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 14 頁 綜合以上所講述的 五種窗函數(shù)，其主要性能如表 所示。 表 不同值下的凱澤窗的特性 ? 過渡帶寬 阻帶最小衰減 N? 30 N? 40 N? 50 N? 60 N? 70 N? 80 N? 90 N? 100 表 五種窗函數(shù)比較 窗函數(shù) 旁瓣峰值衰減 (dB) 過渡寬帶 阻帶最小衰減 (dB) 矩形窗 13 N?4 21 海寧窗 25 N?8 25 漢明窗 31 N?8 25 布來克曼窗 57 N?12 54 凱澤窗 ( ?? ) 57 N?10 80 窗函數(shù)法設(shè)計步驟及舉例 采用窗函數(shù)法設(shè)計數(shù)字濾波器的步驟如下： (1) 給定要求的頻率響應(yīng)函數(shù) ? ??jd eH 。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 15 頁 (2) 選擇窗函數(shù)，根據(jù)所允許的過渡帶寬 ?? ，估計 ??nh 序 列長度 N ，一般 ???NN () 式中， A 為常數(shù)，依窗函數(shù)形狀而定 (參見表 )； ?? 近似等于窗函數(shù)頻譜 ? ??jeW 主瓣寬度。 例如，矩形窗過渡帶寬 N?? 4?? ，其 ??nh 序列長度近似為 ?? ??4N 。 (3) 計算數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng) ? ? ? ?1122jjd Nh n H e e n d? ??? ?? ? ?????????? () (4) 用選擇的窗函數(shù)對進行加窗 ? ? ? ? ? ?h n h n n?? 0,1, , 1nN?? () (5) 計算濾波器的頻率響應(yīng) ? ? ? ?10Nj j nnH e h n e??? ??? ? () 檢驗其是否符 合要求，如不符合要求修改有關(guān)參數(shù)，重復(fù)上述步驟直到滿意為止。 圖 帶阻濾波器的幅頻特性 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 16 頁 如設(shè)一理想帶阻濾波器的頻率響應(yīng)為 0 2 5 3 51 0 2 5 3 5jwHe ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ????? ??? 或 () 試用 Kaiser 窗函數(shù)設(shè)計長度為 55 的帶阻濾波器，滿足阻帶衰減 60dB。 (當 dBAs 50?時， )( ?? sA? ) Kaiser 窗函數(shù)的設(shè)計參數(shù) ? 可以由已知確定，其中，則程序代碼如下 n=551。 w=[ ]。 beta=*()。 kw=Kaiser(n+1,beta)。 [h,w]=freqz(b,1,512,2)。 Plot(w,20*log10(abs(h))),grid on xlabel(?Normalized Frequency?)。ylabel(Magnitude(dB)?)。 設(shè)計結(jié)果如圖 所示。 如用矩形窗、三角窗、漢寧窗、海明窗分別設(shè)計低通數(shù)字濾波器。信號的采樣頻率為 1000Hz，數(shù)字濾波器的截止頻率為 100Hz，濾波器的階數(shù)為 80， 結(jié)果如圖 所示。 程序為 passrad=*pi。 w1=boxcar(81)。 w2=triang(81)。 w3=hanning(81)。 w4=hamming(81)。 n=1:1:81。 hd=sin(passrad*(n41))./(pi*(n41))。 hd(41)=passrad/pi。 h1=hd.*rot90(w1)。 h2=hd.*rot90(w2)。 h3=hd.*rot90(w3)。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 17 頁 h4=hd.*rot90(w4)。 [MAG1,RAD