【文章內容簡介】 差函數(shù)()?在 A 中至少 r+1 個極值點，即在 A 中存在 共 r+1 個頻率點，()E?21rL???各頻率點均滿足關系式： （28）??1()()(),2maxiiAEEir????????123 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器 線性相位的概念數(shù)字濾波器的頻率響應可以由幅值 表示。如果數(shù)字濾波器的相位響應滿()H?足條件，那么稱該數(shù)字濾波器是線性相位。式中 是一個常量。如果 是正數(shù)，那么該系統(tǒng)延遲信號；否則就是一個超前??系統(tǒng)，此時相位是頻率的線性方程，可以歸為 的形式，其中斜率為 ，ymxb????截距 。假設正弦曲線的頻率為 ，即周期為 ，其中 因為一個周期0b?0?0T對應于 ，所以相位改變 對應于延遲。同樣 , 如果 ，那么2?0rad? 00???對應的延遲時間為 ，可見延遲時間和頻率無關。因此如果數(shù)字濾波器滿足線性相位條件，那么所有頻率分成的延遲量是一樣的。這意味著濾波后的輸出只是輸入信號的一個簡單的延遲信號。從另一方面來講，如果濾波器不具有線性相位，那么輸入信號的不同頻率成分延遲量是不同的，這將會導致輸出信號的失真，在實際設計中通常要回避這種情況。如果系統(tǒng)的頻率響應為 .那么其幅值響應是 1,相位響應是()jHE????,表明是線性相位的。假設 ,那么它只是起到延遲的作用，其相()rad??? 2(z位響應只畫出了 區(qū)間內的相位，這也導致了原本是線性的相位出現(xiàn)了彎折。(,)??下面考慮給出了頻率響應的情況，給定 （3()()jHeG????1）式中 是實數(shù)。既然 是實數(shù)，所以它只會影響輸入信號的幅值大小，()G?()而 僅僅使輸入信號產生相移。如果 。相位 ，那么系統(tǒng)是一je?? ()0?()?????個線性想一系統(tǒng)。如果 ，相位 ，那么這種情況下，延遲時()0??????間和頻率是有關的。從上面給出的線性相位的定義的角度來說，該系統(tǒng)不是嚴格意義上的線性相位系統(tǒng)。但是可以將上面的式子寫成 。這樣一來()[()]jHeG???2??02T???0T13中括號里的函數(shù)就變成了線性相位，此時波紋不再失真，負號只要將波紋沿縱軸反轉即可。但是如果 會改變符號，那么波紋就可能失真。 只改變水平軸附()G?()G?近的符號，即阻帶內的符號，此時阻帶內的信號極大地衰減。所以信號通過一個頻率響應系統(tǒng)時，通帶內信號沒有產生任何失真。這樣的系統(tǒng)也常常稱為線性相位系統(tǒng)。這里順便要指出的是模擬濾波器不可能有線性相位特性，只可能在很小的一個頻帶內近似地認為是線性相位。 線性相位濾波器可以很容易設計出滿足線性相位特性的 FIR 濾波器，這使得 FIR 濾波器得到廣泛應用。如前所述，F(xiàn)IR 濾波器肯定是穩(wěn)定的。另一方面，線性相位 IIR 濾波器的設計就不那么簡單了，而且通常只能使它在一定的頻帶頻率范圍內滿足線性相位性質。雖然如此，但是 IIR 也有比 FIR 優(yōu)越的方面，那就是當 IIR 濾波器和 FIR 濾波器具有相同幅值響應時，前者所有的系數(shù)少很多。假設一個因果 FIR 濾波器 同（如下式中濾波器的長度為 ， 為12()0()()()MHzhzhhz??????? 1M?()hi濾波器系數(shù)。以下表明濾波器的線性相位特性可以通過濾波器系數(shù)成偶數(shù)對稱或奇數(shù)對稱的。系數(shù)偶對稱意味著 ，系數(shù)奇對稱意味著())n?。())hnMn?令 ，此時就有六個系數(shù)，假設這些系數(shù)是偶數(shù)對稱的，如下面關系式，5?其中 所以其脈沖響應關于點 n 對稱。(0),(1)4,(2)3hh。 （32）5205()cosjiehi????????????31(1)s2()cosj h??55 122 2(0) )jjjjjjjeeee??????????????????????????2345()()()(0)jjjjj??2jjjjjHh????????14對于 M 為奇數(shù)的一般情況，有以下結論：（M 是奇數(shù)，系數(shù)偶對稱）FIR? （3120()()cos2MjiHehi????????????3）注意到求和號后每項都是實數(shù)，所以式（33）和（32）具有相同形式，所以 FIR1濾波器是線性相位的。令 ，此時就有七個系數(shù)，而且是對稱的。此時的頻率響應變?yōu)?M?23456()0(1)()()()()()jjjjjjHheheheh????????????????210jjjjjj33()[](1)[]()[]j jjjjjjeeee?????????2(0cos)coscosjhhh??? （330()(3jiei?????4）（M 為偶數(shù)，奇數(shù)偶對稱）FIR? （35）那么當奇數(shù)奇對稱時，對于 ，假設系數(shù)如圖所示，此時符號發(fā)生改變，5M?這導致了分子中的余弦函數(shù)被替代。下面給出了通用公式：（M 為奇數(shù)，系數(shù)奇對稱）FIR? （36）220()(()cos)MMj iHehi??????12[]0()()sin)MjiHehi???????15因為 M 是奇數(shù)，所以系數(shù) 的中心 應該是本身的負數(shù)，所以必須等于()hn()2M0。對于 ，通用公式應該為6? （37） FIRIII 和 FIRIV 濾波器和等式的形式不同，所以不是線性相位的。這種濾波器的相位響應為 。相應響應的濾波器常常稱為廣泛線性相位。()2M?????? （38）或 是這一情況的特例，此時的濾波器就變成前面討論的線性相位了。廣泛0???線性相位濾波器在許多場合有廣泛應用，包括窄帶濾波器以及通訊信號的解調。這些濾波器有固定的群延遲或時間延遲，其定義如下： （39） 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設計方法最優(yōu)設計就是充分利用技術指標來進行設計。誤差容限設計低通濾波器，要求在頻帶 內以最大誤差 逼近 1，在頻帶 內以最大誤差 逼近0c???s???2?零位。我們將一要求表示為加權逼近誤差函數(shù)的形式。并且使用最大誤差最小化準則將其描述為切比雪夫逼近問題。最優(yōu)線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設計就是要設法求得切比雪夫逼近的最優(yōu)解的濾波器的系數(shù)。人們在尋求最優(yōu)化設計上做了大量的工作。1970 年發(fā)表了非線性方程的方法求解切比雪夫逼近的最優(yōu)解。1971 年出現(xiàn)了更好的拉格朗日內插多項式求解法。到了 1973 年又找到了雷米茲算法求解加權誤差的方法。非線性方程解法及多項式內插法，之適用于設計那些誤差極值點數(shù)目為最大可能性的濾波器，也即最多波紋濾波器。同時由于 N， 是固定的，所以12,?濾波器的頻帶邊緣 不能預先規(guī)定，需在最后的解求得以后，才能計算出來。(,)cs?12[]0()()sin)2MjiHehi??????????()2??????()()d?????16它可用來設計任何最優(yōu)（最大誤差最小化）線性相位 FIR 濾波器。此外，目前還有線性規(guī)劃技術設計方法，下面對雷米茲算法及線性規(guī)劃技術設計法分別加以介紹。 雷米茲交換法設計 FIR 數(shù)字濾波器雷米茲交換算法是為了在 N 固定時，能控制 和 的需要而產生的。前面已c?s將最優(yōu)線性相位 FIR 濾波器的設計問題描述為切比雪夫逼近問題，逼近函數(shù)是 r 個獨立的余弦函數(shù)之和。交替定理給出了加權逼近誤差函數(shù)的一組必要充分條件，使逼近成為所需頻率響應 的唯一最好逼近。()dH?基于交替定理的最優(yōu) FIR 濾波器的設計程序的主要步驟：（1） 輸入部分：規(guī)定所需要的頻率響應為 ，加權函數(shù) 和濾波器()dH?()W?的長度 N。（2） 用公式表示逼近問題，即形成 。()()dP?和（3） 用雷米茲多次交換算法，求逼近問題的解。（4） 計算濾波器的單位取樣響應。第一步設計濾波器算法，表達所要求設計的濾波器的類型和必須滿足的性能要求。第二步在前面切比雪夫加權逼近已提及。第三步用雷米茲算法求逼近問題的解。需要指出的是，在整個程序中，雷米茲算法是作為一個子程序出現(xiàn)的，在調用該子程序以前，主程序已完成了以下幾點。① 讀輸入數(shù)據(jù)（濾波器的技術規(guī)格）② 根據(jù)濾波器的類型和長度確定了逼近函數(shù) cos 的個數(shù) r③ 用密集的格點代替了頻率區(qū)間 。確定了兩格點間的距離為?（ 0～ ）因而總格點數(shù)等于（N+1）格點密度/2，并給所有下標格點賦上了標稱頻率值。④調用了子程序 EFF 和 WATE 計算各格點頻率上所要求的函數(shù)值 和加d()H?權函數(shù)值 .()W????????（ 濾 波 器 長 度 N+1）格 點 密 度 逼 近 函 數(shù) cos的 個 數(shù) r對 情 況 1為 217⑤根據(jù)四種情況統(tǒng)一的公式將 、 ，變成了 。d()H?()W()dHW???和⑥根據(jù)交替定理，建立了一組等間隔的極值頻率初始值。等波紋的誤差曲線是在多次迭代中形成的。雷米茲迭代計算是從（r+1）個極值頻率 的初始假設值開始的。第一次迭代的（r+1）個極值頻率是??k(0,1)r???按等間隔假設的，這些頻率位于區(qū)間 內，并且由于 和 是0cs????和 c?s固定的，所以 中的某一頻率，即 。假定這些頻率點上的c 1(),cl lr????誤差函數(shù)的數(shù)值為 ，其符號為正負交替。這就是說根據(jù)問題的原始要求，對于給?定的一組極值頻率 ，需要求以下方程??k(0,1)r?? )(1)kkkWHP??????????0,1kr?0(cos)rknan????式中 0rkikix???? （3cosii10）計算出以后，確定出 r 個極值頻率 上的 值? 01,r???()P?kC （3()()kkdkCHW???0,1kr??