【文章內容簡介】 8 11 () 20 o th e rw is eRNnn??? ??? ??? （ 37） 其頻譜的幅度函數為 si n( / 2)() si n( / 2)gRNW ?? ?? （ 38） 矩形窗的主瓣寬度為 4/n? ，用矩形窗設計的 FIR數字濾波器的過渡 帶寬度近似為 /N? 。 三角形窗的窗函數為： 21 0 n ( 1 )12()212 ( 1 ) 112Bn NNnn N n NN?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ???? （ 39） 其頻譜的幅度函數為 22 sin( / 4)()sin( / 2)gB NW N ?? ???? ???? （ 310） 三角窗的主瓣寬度為 8/n? 。 漢寧窗窗函數為 20 . 5 0 . 5 c o s 0() 10 Hn nNn No th e r w is e??? ? ? ??? ???? （ 311） 漢寧窗的頻譜的幅度函數為 22( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5 ( ) ( )11H R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ? ??????? （ 312） 漢寧窗的主瓣寬度為 8/n? ，漢寧窗在其兩個端點都為零，實際中這兩個端點的數據是不可用的。 哈明窗的窗函數為 20 . 5 4 0 . 4 6 c o s 0() 10 Hn nNn No th e r w is e??? ? ? ??? ???? （ 313） 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 9 其幅度函數為 22( ) 0 . 5 4 ( ) 0 . 2 3 ( ) ( )11H R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ? ??????? （ 314） 哈明窗是一種改進的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一種高效的窗函數，主瓣寬度與漢寧窗的相同。 布萊克曼窗窗函數為 2 4 1( 0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 8 c o s ) () 1 1 20 Bn n Nnn NNo th e r w is e????? ? ? ??? ????? （ 315） 其頻譜的幅度函數為 22( ) 2 ( ) 5 ( ) ( )1144 ( ) ( )11B R R RRRW W W WNNWWNN??? ? ? ???????? ? ? ? ?????????? ? ? ??????? （ 316） 該窗函數位移不同，幅度函數也不同，會使旁瓣進一步抵消，主瓣寬度為12 /N? 。 凱塞窗是一種最優(yōu)窗函數，不同于前面五種窗函數，凱塞窗是一種參數可調的窗函數，其函數形式如下： ()( ) 0 1()oKoIn n NI ?? ?? ? ? ? （ 317） 其中 221 ( 1)1nN??? ? ?? 211( ) 1 ( )!2 kokI k?? ?????? ????? （ 318） 一般 ()oI ? 取 1525項可以滿足精度要求。 ? 參數可以控制窗的形狀。一般 ?越大，主瓣越寬，而旁瓣幅度會隨之減小，典型的 ? 數據在 4到 9之間。 各種窗函數的性能比較如表 31所示： 表 31 不同窗函數性能比較 窗函數類型 旁瓣峰值 (dB) 阻帶最小衰減 (dB) 過渡帶寬度 (P/N) 矩形窗 13 21 4 三角窗 25 25 8 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 10 漢寧窗 31 44 8 續(xù)表 31 哈明窗 41 53 8 布萊克曼窗 57 74 12 凱塞窗 ( )?? 51 60 雖然窗函數設計法設計思路簡單，但是它的邊界頻率不容易控制，而且窗函數還有吉布斯效應，需要選擇不同的窗函數來減小吉布斯效應對結果的影響，但無論哪種窗函數，都無法很好的解決這一問題，所以我們需要通過其他的設計方法來進行濾波，便于滿足實際工程中的不同要求。 FIR 數字濾波器的頻率采樣設計法 頻率采樣法的基本思路 窗函數設計法是從時域出發(fā)來設計 FIR數字濾波器的，而頻率采樣法是從頻域出發(fā)設計 FIR數字濾波器的。和窗函數設計法相同，頻率采樣法也需要預先構造一個希望逼近的濾波器頻率響應函數 ()jdHe? ，對其加以等間隔采樣后，作為 FIR數字濾波器的頻率響應。對 ()jdHe? 在 =0? 到 2? 之間等間隔采樣 N 點，得到頻率采樣值 ()dHk： 2( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . . , 1jdd kNH k H e k N? ?? ?? ? ? （ 319） 再對 ()dHk進行 N 點 IDFT，得到 ()hn ： 101( ) ( ) 0 ,1 , 2 , . . . , 1N kndNkh n H k W n NN? ??? ? ?? （ 320） 將 ()hn 作為所涉及的 FIR數字濾波器的單位脈沖響應，其系統(tǒng)函數為 ()Hz為 10( )= ( )N nnH z h n z? ??? （ 321） 由于 濾波器頻率響應 ()jdHe? 是理想的，即 ()jdHe? 有間斷點，那么其單位沖浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 11 激響應 )(nhd 是無限長的。這樣，由于時域混疊，引起所設計的 h(n)和 )(nhd 有偏差。 因此，采樣點處 ( )( 2 / )kj kH e k N? ??? 與 ()Hk相等，逼近誤差為 0，而在采樣點 之間， ()jHe? 由有限項的 ( ) 2 /H k k N? ? ??（ ）之和形成。其誤差和 ()jdHe? 特性的平滑程度有關，特性愈平滑誤差愈小；特性曲線間斷點處，誤差越大。誤差表現形式為間斷點用傾斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，往往不能滿足實際工程中的技術要求。當然，增大 N值，可以減小逼近誤差，但間斷點附近誤差仍然最大，且 N太大會增加濾波器級數與成本。提高阻帶衰減最有效的方法是在頻響間斷點附近區(qū)間 內插一個或幾個過渡采樣點，使不連續(xù)點變成緩慢過渡。 過渡帶采樣點個數與阻帶最小衰減 s? 的關系以及使阻帶最小衰減 s? 最大化的每個過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思路是將過渡帶采樣值設為一個自由量，用一種優(yōu)化算法改變它們，最終使阻帶最小衰減 s? 最大。將過渡帶采樣點的個數 m與濾波器阻帶最小衰減 s? 的經驗數據 列于表 32中，我們可以根據給定的阻帶最小衰減 s? ，選擇過渡帶采樣點的個數 m。 表 32 過渡帶采樣點的個數 m與濾波器阻帶最小衰減 s? 的經驗數據 m 1 2 3 s? 44~54dB 65~75dB 85~95dB 頻率采樣法的設計步驟 首先根據阻帶最小衰減 s? 按照表 32選擇過渡帶采樣點的個數 m ，再確定過渡帶寬度 tB ，估算頻域采樣點數 N ，如果增加 m 個過渡帶采樣點，則過渡帶寬度近似變成 ( 1)2 /mN?? 。當 N 確定時，過渡帶會隨著 m 的增大而變寬。如果給定的過渡 帶寬度為 tB ，則要求 ( 1)2 / tm N B???，濾波器的長度 N 必須滿足以下公式： 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 12 2( 1)tNm B??? （ 322） 接著，構造一個希望逼近的頻率響應函數： ( 1 ) / 2( ) ( )j j Nd dgH e H e??? ??? （ 323） 設計標準型片段常數特性的 FIR數字濾波器時，一 般構造幅度特性函數()dgH ? 為相應的理想頻響特性，且滿足 ()hn 的對稱情況。 對（ 323）進行頻域采樣： 12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . . , 1Njkj Ndg kNH k H e H k e k N???????? ? ? ? （ 324） 2( ) ( ) k = 0 , 1 , 2 , . . . , N 1g d gH k H kN?? （ 325） 并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值一般為經驗值，或者用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。 對 ()Hk進行 N 點 IDFT，得到第一類線性相位 FIR數字濾波器的單位脈沖響應： ? ? 101( ) ( ) ( ) n = 0 , 1 , 2 , . . . , N 1N knNkh n I D F T H k H k WN ? ???? ? （ 326） 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 13 求出：開始確定所逼近的 ，估算采樣點數N與過渡帶采樣點數m()jdHe ?采樣：2/( ) ( ) , , 1 , 2 , . . . , 1j k NddH k H e k N?? ? ?插入過渡帶采樣點數( ) [ ( ) ] , 0 , 1 , 2 , . . . 1dh n I D F T H k n N? ? ?求出：( ) [ ( ) ]jH e F F T h n? ? 是否滿足要求()jHe ?輸出設計結果 或 ()hn()Hz結束增加過渡帶采樣點數改變N的值是否 圖 32 頻率采樣法設計 FIR濾波器流程 最后檢驗設計結果，如果阻帶最小衰減未達到指標要求，則要改變過渡帶的采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾波器的邊界頻率未達到指標要求，則需要微調 ()dgH ? 的邊界 頻率。頻率采樣法設計 FIR濾波器流程如圖 32所示。 頻率采樣法最大的優(yōu)點就是直接從頻率進行設計，比較直觀，也適合于設計具有任意幅度特性的濾波器。但是頻率采樣法在邊界頻率不容易控制，如果采樣點數 N增加，對確定邊界頻率有好處，但同樣會增加了濾波器的成本，因此只適合窄帶濾波，且這種設計方法理解起來比較困難。 FIR 數字濾波器的等波紋逼近設計法 窗函數設計法和頻率采樣設計法雖然設計方法簡單，但都存在濾波器邊緣頻率不易精確控制缺點，且這兩種設計方法設計出來的濾波器的通帶和阻帶的波動浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 14 幅度都是相等的，兩種設計方 法都不能分別控制通帶和阻帶的波動幅度，而現實工程中往往對二者都有不同的要求，需要分別進行控制。 等波紋逼近法是一種優(yōu)化設計方法，它克服了窗函數設計法和頻率采樣法的缺陷，是最大誤差最小化設計方法，并在整個逼近頻段上均勻分布。 設 ()dH? 為希望逼近的幅度特性函數，且要求設計線性相位的 FIR數字濾波器時， ()dH? 必須滿足線性相位約束條件。用 ()gH? 表示實際設計的幅度特性函數，定 義加權誤差函數 ()E? 為 ( ) ( ) ( ) ( )dgE W H H? ? ? ??????? （ 327） 式中， (