【文章內(nèi)容簡介】 特性愈接近矩形，過渡帶愈窄傳遞函數(shù)無零點(diǎn)。 利用 Matlab 設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的程序 [z,p,k]=buttap(N)。 %設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %將零點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %按 n指定的頻率點(diǎn)給出頻率響應(yīng) magH2=(abs(H)).^2。 %給出傳遞函數(shù)幅度平方 程序運(yùn)行結(jié)果如下 : 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 8 可以看出，濾波器的幅頻平方特性隨著頻率 的增加而 單調(diào)下降。隨著濾波器的階數(shù)的增大，其幅頻特性越接近矩形。 I 模擬低通濾波器 切比雪夫 I型模擬低通濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2) =2211 ( )NCC ?? ?? 其中， ? 為小于 1 的正數(shù)，表示通帶內(nèi)的幅值波紋情況； c? 為截止頻率， N 為切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)， ()N cC ??為 切比雪夫 多項(xiàng)式。 切比雪夫 I 型濾波器特點(diǎn)是：通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降，具有更大的衰減特性；階數(shù)越高，特性越接近矩形。傳遞函數(shù)無零點(diǎn)。 Matlab 信號處理箱中專門利用函 數(shù) cheblap 設(shè)計(jì) N 階切比雪夫 I 型模擬低通濾波器原型。其設(shè)計(jì)程序?yàn)? [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)。 %設(shè)計(jì)切比雪夫 I 型濾波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求的傳遞函數(shù)的頻率特性 magH2=(abs(H)).^2。 %求的傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng) 程序運(yùn)行結(jié)果如下： 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 9 由上圖可知，與巴特沃斯濾波器相 比，在相同的階數(shù)下切比雪夫?yàn)V波器具有 更窄的過渡帶。但是這是在犧牲了通帶的平滑程度換來的。 II 型模擬低通濾波器 切比雪夫 II 型模擬 低通濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2)=12211 ( )NCC ?? ????? ???? 該濾波器的特點(diǎn)是：阻帶內(nèi)具有等波紋的起伏 特性，而在通帶內(nèi)是單調(diào)、平滑的，階數(shù)越高，頻率特性越接近矩形，傳遞函數(shù)既要有極點(diǎn)又要有零點(diǎn)。 Matlab 信號處理箱 提供函數(shù) cheb2ap 設(shè)計(jì) N 階 切比雪夫 II 型模擬低通濾波器 。其設(shè)計(jì)程序如下： [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)。 %設(shè)計(jì) ChebyshevII 型模擬低通濾波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù) [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求出濾波器的頻率響應(yīng) magH2=(abs(H).^2)。 %頻率響應(yīng)的幅度平方 程序運(yùn)行結(jié)果如圖所示： 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 10 由上圖可知 切比雪夫 II 濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)平滑的，而在阻帶內(nèi)卻出現(xiàn)了波紋。隨著濾波器階數(shù)的增高，其幅頻特性越接近矩形。 橢圓模擬低通濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2) = 2211 ( )NcE ?? ?? 式中 ? 為小于 1 的正數(shù)，表示波紋情況； c? 為低通濾波器的截止頻率， N 為濾波器的階數(shù)， ()N cE ?? 為橢圓函數(shù)。 橢圓濾波器的特點(diǎn)：在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋起伏特性，與巴特沃斯濾波 器和切比雪夫?yàn)V波器相比，相同的性能指標(biāo)所需的階數(shù)最小，但是相頻響應(yīng)卻具有 十分明顯的非線性。 MATLAB信號處理工具箱提供橢圓模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù) 程序是 Rp=1。Rs=15。 %設(shè)置通帶波紋為 1dB,阻帶衰減為 15dB 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 11 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。 %設(shè)計(jì)橢圓濾波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求得傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng) magH2=(abs(H)).^2。 %給出幅度函數(shù)平方函數(shù) 其運(yùn)行結(jié)果如圖所示： 由上圖可知，橢圓濾波器的過渡帶已相當(dāng)窄，這種特性是 以犧牲通帶和阻帶的單調(diào)平滑性為代價(jià)的而換來的。 對前四種模擬原型濾波器做一總結(jié)可知： Butterworth 濾波器在通帶和阻帶 內(nèi)具有平滑單調(diào)的特點(diǎn)，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最多。 ChebyshevI 和 II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)具有波紋，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比 Butterworth 濾波器更少。橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均有波紋出現(xiàn)，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需階數(shù)最少。 第四章 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的簡介 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 12 數(shù)字濾波技術(shù)是數(shù)字信號處理的一個(gè)重要組成部分，濾波器的設(shè)計(jì)是信號處理的核心問題之一。 和模擬濾波器一樣，數(shù)字濾波器的主要功能是對數(shù)字信號進(jìn)行處理，最常見的處理是保留數(shù)字信號的有用頻率成分，去除信號中的無用頻率成分。按時(shí)間域特性，數(shù)字濾波器可以分為無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器和有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器兩類。 隨著信息時(shí)代的到來，數(shù)字信號處理已經(jīng)成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)，并且在通信、語音、圖像、自動(dòng)控制等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理中，數(shù)字濾波器占有極其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、靈活 性大等特點(diǎn)。現(xiàn)代數(shù)字濾波器可以用軟件或硬件兩種方式來實(shí)現(xiàn)。軟件方式實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)是可以通過濾波器參數(shù)的改變?nèi)フ{(diào)整濾波器的性能。 IIR 濾波器的設(shè)計(jì) IIR 濾波器的基本 結(jié)構(gòu) 無限長單位沖激響應(yīng)（ IIR）濾波器有以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1） 系統(tǒng)的單位響應(yīng) h(n)是無限長的； ； （ 2） 系統(tǒng)函數(shù) H(z)在有 z平面（ 0︱ z︱ ∞）上有極點(diǎn)存在； （ 3） 結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。 但是，同一種系統(tǒng)函數(shù) H(z)可以有多種結(jié)構(gòu)，它的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、級聯(lián) 型和并聯(lián)型四種。 IIR濾波器的設(shè)計(jì) 思路 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式 系數(shù)。它和 FIR 濾波器相比 在滿足相同性能指標(biāo)要求的前提下， IIR 濾波器的階數(shù)低于 FIR濾波器； FIR 濾波器的相位是線性的，而 IIR 濾波器的相位是非線性的。 在前面了解了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，就是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。經(jīng)典的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法就是按照一定的變換原理轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器。這個(gè)方法就是先根據(jù)模擬的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng) 的模擬濾波器，然后將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器。 IIR 濾波器的 MATLAB 的實(shí)現(xiàn) 在設(shè)計(jì)了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。這些變換均是復(fù)值映射，許多文獻(xiàn)對此都有研究，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。其中，最重要的有兩種：脈沖響應(yīng)不變法（保持脈沖響應(yīng)不變，又叫沖激響應(yīng)不變法）和雙線性 Z變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。 （一） 脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì) IIR 濾波器 脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)原理是使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)序列 h(n)等于模魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 13 擬濾波器的單位沖 激響應(yīng) g(t)的采樣值。 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 g(t),并將脈沖響應(yīng)h(t)進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)剛好等于 h(t)的采樣值，即： ? ? ? ?g | stnTh n t ?? (41) 其中的 Ts 為采樣周期。 G(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，又令 H(z)是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。采樣信號的拉式變換與相應(yīng)的采樣序列 Z變換的映射關(guān)系為： ez sT? (42) 所以系統(tǒng)函數(shù) G(s)和 H(z)的關(guān)系為： ? ? ? ?? ??? ????? k ssez jksGTzH sT 1| (43) 式 (41)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過式 (42)的映射變換，映射到 Z 平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系：ω =Ω T。經(jīng)過式 (42)的映射， s平面的左半平面映射為 Z 平面的單位圓內(nèi)，因此，一個(gè)因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。 經(jīng)過以上分析，按照脈沖響應(yīng)不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s)，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(Z),其設(shè)計(jì)具體步驟歸納如下： (1)利用ω =Ω T（可由關(guān)系式 ez sT? 推出），將數(shù)字濾波器指標(biāo) ?P ， ?S 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo) ?P ， ?S (2)根據(jù)指標(biāo) ?P ， ?S 來設(shè)計(jì)模擬濾波器 G(s) (3)利用部分分式展開法，把 G(s)展成 ? ? ??? ?Nk kkPs AsG 1 (43) (4)最后把模擬極點(diǎn) Pk 轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點(diǎn) eTSk ，得到數(shù)字濾波器： ? ? ? ?? ? ?Nk TS k Ze AzH k1 11 (44) 以 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器為例 [b,a]=butter(n,Wn,39。s39。)。 %b、 a 分別為模擬濾波器的分子分母按降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù) [bz,az]=impinvar(b,a,1/Ts)。 %脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的分子、分母系數(shù) 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 14 disp(39。分子系數(shù) b39。)。 %下面是顯示分子、分母多項(xiàng)式系數(shù) fprintf(39。%.4e39。,bz)。fprintf(39。\n39。)。 disp(39。分母系數(shù) a39。)。 fprintf(39。%.4e39。,az)。fprintf(39。\n39。)。 omega=[0::pi]。 %確定坐標(biāo)軸范圍 h=freqz(bz,az,omega)。 %得到模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)系數(shù) Ampli=20*log10(abs(h)/abs(h(1)))。 %求衰減的分貝 程序運(yùn)行結(jié)果如下 。 Ts = 濾波器的階數(shù) N=4 分子系數(shù) b +000 分母系數(shù) a +++ （二） 雙線性變換法 設(shè)計(jì)濾波器 魯東大學(xué) 本科畢業(yè) 設(shè)計(jì) 15 雙線性變換關(guān)系為 1121s 1S zTz???? ? 模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系為 ? ?2 tan /s sT ??? (45) ? ?2 a rc ta n / 2sT? ?? 其中的 Ts 為采樣周期，這是由 s平面到 z平面的一種新的映射關(guān)系。當(dāng) ?由 0 變到 ? 時(shí)， tan(? /2)由 0變到＋∞；當(dāng) ? 由 0 變到 ? 時(shí)， tan(? /2)由0變到 ∞，即 s平面的整個(gè)虛軸 j? 只映射到 z平面單位圓一周，這種頻率映射關(guān)系利用了正切函數(shù)的非線性特點(diǎn)，把整個(gè) j? 壓縮到了 ? 到 ? ，即單位圓一周，從而使得 s 平面到 z 平面之間的映射為一一對應(yīng)的關(guān)系，避免 了混疊現(xiàn)象。這種映射關(guān)系能保證： （ 1） s平面的整個(gè)虛軸 j? 只映射為 z平面的單位圓一周； （ 2） 若 H(s)是穩(wěn)定的，由 H(s)映射得到的 H(z)也應(yīng)該是穩(wěn)定的 。 （ 3） 這種映射是可逆的，既能由 H(s)得到 H(z)， ,也能由 H(z)得到 H(s)； 雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 濾波器的步驟如下： 雙線性 Z 變換法的基本思路是：首先將整個(gè) s平面壓縮到 s1 平面的一條帶寬為 2π /T（叢 π /T 到π /T）的橫帶里，然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變化關(guān)系 ez sT? 將橫