【文章內(nèi)容簡介】 ? ()Rn? 吉布斯效應(yīng)用窗函數(shù)對(duì) 進(jìn)行直接截?cái)?，得到有限長序列 ，并以 代39。()dhn()hn()替 ，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。對(duì)于()dhn一個(gè)在有限區(qū)間分布的信號(hào)，其連續(xù)頻譜在頻域上分布往往是無限的，而在實(shí)際信號(hào)處理時(shí)，我們通常只能在有限的區(qū)間內(nèi)做傅里葉分析，也就是說，我們只能用有限區(qū)間來代替理論分析中的無限區(qū)間，多數(shù)情況下，我們總是選擇信號(hào)的低頻部分，而舍棄高頻部分。而信號(hào)的高頻部分往往是反應(yīng)信號(hào)快速變化特征，如果信號(hào)本身是連續(xù)的，這樣做一般不會(huì)引起信號(hào)的顯著變化，但實(shí)際中的信號(hào)往往是比較豐富的，特別是信號(hào)本身存在劇烈變化的，這樣做必定會(huì)引起一些誤差。該誤差引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng) [8]。為了減小吉布斯效應(yīng)帶來的影響，需要調(diào)整窗口的長度來控制過渡帶的寬度，但要減小帶內(nèi)的波動(dòng)以及增大阻帶衰減，還需要從窗函數(shù)的形狀上尋找解決方法。為了減少序列因截?cái)喽a(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)，窗函數(shù)在設(shè)計(jì)時(shí)需要注意：(1)頻率特性的主瓣要盡可能的窄，并且盡量把能量都集在主瓣內(nèi)。(2)窗函數(shù)頻率特性的旁瓣 趨于 的過程中，其能量迅速減小為零。?? 常見窗函數(shù)介紹常見的窗函數(shù)有矩形窗（Rectangle Window）、三角形窗（Bartlerr Window）、漢寧（ Hanning）窗——升余弦窗、哈明（ Hamming）窗——改進(jìn)的升余弦窗、布萊克曼（Blackman）窗、凱塞—貝塞爾窗（KaiserBasel Window）。浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 8矩形窗的窗函數(shù)為： （37）1 ()20otherwisRNn????????其頻譜的幅度函數(shù)為 （38）sin(/2)()gRNW?矩形窗的主瓣寬度為 ，用矩形窗設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶寬度近4/?似為 。?三角形窗的窗函數(shù)為： （39）21 0n()12() B NNn??????????其頻譜的幅度函數(shù)為 （310）22sin(/4)()gBNW????????三角窗的主瓣寬度為 。8/n?漢寧窗窗函數(shù)為 （311） 0()1 HnNntherwis?????????漢寧窗的頻譜的幅度函數(shù)為 （312）22()().()()11HRRRWWN???? ?????? ??? ?漢寧窗的主瓣寬度為 ，漢寧窗在其兩個(gè)端點(diǎn)都為零，實(shí)際中這兩個(gè)端8/n?點(diǎn)的數(shù)據(jù)是不可用的。哈明窗的窗函數(shù)為浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 9 （313） 0()1 HnNntherwis?????????其幅度函數(shù)為 （314）22()().3()()11HRRRWWN???? ?????? ??? ?哈明窗是一種改進(jìn)的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一種高效的窗函數(shù)，主瓣寬度與漢寧窗的相同。布萊克曼窗窗函數(shù)為 （315）241() )112 BnnNnNtherwis????????????其頻譜的幅度函數(shù)為 （316）22()().5()()1144 .)BRRRWWNN???? ?????? ??? ?? ?? ?? ?該窗函數(shù)位移不同，幅度函數(shù)也不同，會(huì)使旁瓣進(jìn)一步抵消，主瓣寬度為。12/N?凱塞窗是一種最優(yōu)窗函數(shù)，不同于前面五種窗函數(shù)，凱塞窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，其函數(shù)形式如下： （317）() 01oKInnN??????其中 （318）21()nN????21()()!kokI????????????一般 取1525項(xiàng)可以滿足精度要求。 參數(shù)可以控制窗的形狀。一般()oI ?越大，主瓣越寬，而旁瓣幅度會(huì)隨之減小，典型的 數(shù)據(jù)在4到9之間。?各種窗函數(shù)的性能比較如表31所示：表31 不同窗函數(shù)性能比較浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 10窗函數(shù)類型 旁瓣峰值(dB) 阻帶最小衰減(dB) 過渡帶寬度(P/N)矩形窗 13 21 4三角窗 25 25 8漢寧窗 31 44 8 續(xù)表31哈明窗 41 53 8布萊克曼窗 57 74 12凱塞窗 ()??51 60 雖然窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)思路簡單，但是它的邊界頻率不容易控制，而且窗函數(shù)還有吉布斯效應(yīng)，需要選擇不同的窗函數(shù)來減小吉布斯效應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響，但無論哪種窗函數(shù)，都無法很好的解決這一問題，所以我們需要通過其他的設(shè)計(jì)方法來進(jìn)行濾波，便于滿足實(shí)際工程中的不同要求。 FIR 數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計(jì)法 頻率采樣法的基本思路窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)來設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的，而頻率采樣法是從頻域出發(fā)設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器的。和窗函數(shù)設(shè)計(jì)法相同，頻率采樣法也需要預(yù)先構(gòu)造一個(gè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù) ，對(duì)其加以等間隔采樣后，作為FIR數(shù)()jdHe?字濾波器的頻率響應(yīng)。對(duì) 在 到 之間等間隔采樣 點(diǎn)，得到頻率采()jd=02?N樣值 ：()dHk （319）2()) 0,????再對(duì) 進(jìn)行 點(diǎn)IDFT，得到 ：()dN(hn （320）10()) 0,??????將 作為所涉及的FIR 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 為()hn ()Hz浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 11 （321）10()=)NnnHzhz???由于濾波器頻率響應(yīng) 是理想的，即 有間斷點(diǎn)，那么其單位沖jde?()jde?激響應(yīng) 是無限長的。這樣，由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)的h(n)和 有偏)(nhd )(nhd差。因此，采樣點(diǎn)處 與 相等，逼近誤差為0，而在采樣()2/)kjHeN???(Hk點(diǎn)之間， 由有限項(xiàng)的 之和形成。其誤差和 特性()je???（ ） ()jdHe?的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑誤差愈小；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差越大。誤差表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)用傾斜線取代，且間斷點(diǎn)附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，往往不能滿足實(shí)際工程中的技術(shù)要求。當(dāng)然，增大N 值，可以減小逼近誤差，但間斷點(diǎn)附近誤差仍然最大，且N太大會(huì)增加濾波器級(jí)數(shù)與成本。提高阻帶衰減最有效的方法是在頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過渡。過渡帶采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)與阻帶最小衰減 的關(guān)系以及使阻帶最小衰減 最大化的s?s?每個(gè)過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思路是將過渡帶采樣值設(shè)為一個(gè)自由量，用一種優(yōu)化算法改變它們，最終使阻帶最小衰減 最大。將過渡帶s采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表32 中，我們可以根據(jù)s?給定的阻帶最小衰減 ，選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m 。s?表 32 過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m 與濾波器阻帶最小衰減 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)s?m 1 2 3s?44~54dB 65~75dB 85~95dB 頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟首先根據(jù)阻帶最小衰減 按照表32選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) ，再確定過s?m渡帶寬度 ，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù) ，如果增加 個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)，則過渡帶寬度tBNm浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 12近似變成 。當(dāng) 確定時(shí)，過渡帶會(huì)隨著 的增大而變寬。如果給定(1)2/mN??m的過渡帶寬度為 ，則要求 ，濾波器的長度 必須滿足以下公tB(1)2/tmNB???N式： （322）()t?接著，構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)： （323）(1)/2()j jNddgHee????設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型片段常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時(shí)，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足 的對(duì)稱情況。()dgH?()hn對(duì)（323 ）進(jìn)行頻域采樣： （324）12())() 0,????? ?? （325）( =,.gdg并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值一般為經(jīng)驗(yàn)值，或者用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。對(duì) 進(jìn)行 點(diǎn)IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響()HkN應(yīng)： （326）??10()()() n=0,?????浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 13 求出 ：開始確定所逼近的 ， 估算采樣點(diǎn)數(shù) N 與過渡帶采樣點(diǎn)數(shù) m()jdHe?采樣 ：2/()),1.,jkd???插入過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)()[()],012,.dhnIDFTHknN???求出 ：jeh? 是否滿足要求()jH?輸出設(shè)計(jì)結(jié)果 或 ()hnz結(jié)束增加過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)改變 N 的值是否圖32 頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR 濾波器流程最后檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過渡帶的采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾波器的邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則需要微調(diào) 的邊界頻率。頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器流程如圖32所示。()dgH?頻率采樣法最大的優(yōu)點(diǎn)就是直接從頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較直觀，也適合于設(shè)計(jì)具有任意幅度特性的濾波器。但是頻率采樣法在邊界頻率不容易控制，如果采樣點(diǎn)數(shù)N增加，對(duì)確定邊界頻率有好處，但同樣會(huì)增加了濾波器的成本，因此只適合窄帶濾波，且這種設(shè)計(jì)方法理解起來比較困難。 FIR 數(shù)字濾波器的等波紋逼近設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣設(shè)計(jì)法雖然設(shè)計(jì)方法簡單，但都存在濾波器邊緣頻率不易精確控制缺點(diǎn)，且這兩種設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出來的濾波器的通帶和阻帶的波動(dòng)浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 14幅度都是相等的，兩種設(shè)計(jì)方法都不能分別控制通帶和阻帶的波動(dòng)幅度，而現(xiàn)實(shí)工程中往往對(duì)二者都有不同的要求，需要分別進(jìn)行控制。等波紋逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它克服了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法的缺陷，是最大誤差最小化設(shè)計(jì)方法，并在整個(gè)逼近頻段上均勻分布。設(shè) 為希望逼近的幅度特性函數(shù)，且要