【文章內容簡介】 是無限長的,需要求對 的一個逼近。采用窗函d )(?jdeH數設計法時,可通過對理想濾波器的單位采樣響應加窗設計濾波器　 　　 式（34))()(nhd?其中, 是一個長度有限的窗,在區(qū)間 0 ≤ n ≤ N 外值為 0 ,且關n于中間點對稱　　　 式（35))1()nN??頻率響應根據式 35 ,由卷積定理得出　　　 式（36))(2)(???jjdj eHe?理想的頻率響應被窗函數的離散時間傅立葉變換 “平滑”了。)(?je　采用窗函數設計法設計出來的濾波器的頻率響應對理想響應的逼近程度,由兩個因素決定:① 主瓣的寬度。② 旁瓣)(?jdeH)(?je)(j的幅度大小。理想的情況是 主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但對于一個長度固)(?je定的窗函數來說,這些不能獨立地達到最小。寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 11 頁 共 35 頁 窗函數的一些通用性質 (1)、窗函數的長度 N 增加,主瓣的寬度減小,使得過渡帶變小。關系為:NB = C 其中:B 是過渡帶的寬度。C 是取決于窗函數的一個參數。如矩形窗為 4π。調整 N 可以有效地控制過渡帶的寬度,但 N 的改變不改變主瓣和旁瓣的相對比例。隨著 N 值增加,過渡帶變窄,波動頻率也隨著增加,雖然總的幅度有所減少,但截止頻率附近的肩峰并不減少,而只是隨著 N 值的增加,肩峰被抑制在愈來愈小的范圍內,使肩峰寬度變窄。 (2)、窗函數的旁瓣的幅度大小取決于窗函數的選擇。選擇恰當的窗函數使主瓣包含更多的能量,相應旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度的減小,可以減少通帶和阻帶的波動,使通帶盡可能趨近水平,阻帶盡可能達到最大衰減。但通常此時過渡帶會變寬。 (3)、取不同的窗函數對幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長度要強得多。 設計方法這種方法也叫傅里葉級數法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應 ，要求設計一個 FIR 濾波器頻率響應)(?jdeH來逼近 。設計是在時域進行的，因而先由???10)(Nnnjjh? )(?jdeH的傅里葉反變換導出 ，即d nh 式（37）?njdd)(21)(?? 由于 是矩形頻率響應特性，故 一定是無限長序列，且是?je )(hd非因果的，而 FIR 濾波器的 必然是有限長的，所以要用有限長的)(h來逼近無限長的 ，最有效的方法是截斷 或者說用一個有限)(nhnd nd長度的窗口函數序列 來截取 ，即d 式（38）)()(h?? 因而窗函數序列的形狀及長度的選擇就是關鍵。 我們以一個截止頻率為 的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波c寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 12 頁 共 35 頁器為例來討論。設低通特性的群延時為 ，即? 式（3????????cccjjdeH????,0)(9） 這表明，在通帶 ≤ 范圍內， 的幅度是均勻的，其值為c)(jdeH1，相位是 。?? 式（3??)(sin21)( ???????????denhjdc10） 是中心點在 的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的 ，)(d )(nh一種最簡單的方法就是取矩形窗 ，即)(nRN 式（3)(N??11） 但是按照線形相位濾波器的約束， 必須是偶對稱的，對稱中心應nh為長度的一半(N1)/2，因而必須 =(N1)/2，所以有? 式（312）???????????21N,01)()()(??為 其 他nNhndd 將式 39 代入式 310，可得 式（313）10,0)21(sin)( ??????????????Nnhc為 其 他 值?? 此時，一定滿足 這一線性相位的條件。)()hn? 下面求 的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性， )(h寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 13 頁 共 35 頁以便能看出加窗處理后究竟對頻率響應有何影響。 按照復卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關系，即 式（314）?????deHejdj )(21)(???? 因而 逼近 的好壞，完全取決于窗函數的頻率特性jHjd。)(?jeW 窗函數 的頻率特性 為)(n)(?jeW 式（315）???10)()(Nnnjj 對矩形窗 ，則有)nRN 式（316）)2sin()(110NeeWjNnjjR ?????? 也可表示成幅度函數與相位函數 式（317）??)21()(??NjRjNee 其中 式（318）)2sin()(NWR?? 就是頻域抽樣內插函數，其幅度函數 在 之內)(?jReW)(?RWN/2???為一個主瓣，兩側形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成 式（319）??)21()(??NjdjdeHe寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 14 頁 共 35 頁 則其幅度函數為 式（320）?????????cdH,01)( 窗函數介紹 實際應用的窗函數，可分為以下主要類型和特點： （1）矩形窗 矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，函數形式為: 式（321）??????Ttt,01)(?相應的窗譜為： 式（322）TW?sin2)(? 矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 15 頁 共 35 頁圖 31 矩形窗的時域及頻域波形（2）三角窗亦稱費杰(Fejer)窗，是冪窗的一次方形式，其函數形式是： 式（323）???????Tttt,0),1()?三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣，如圖 32 所示。圖 32 三角窗的時域波形圖（3）漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時域表達式為：寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 16 頁 共 35 頁 式（324）????????Tttt,0),cos21()??相應的窗譜為： 式（325）????????????TW)sin()sin(21si)( 由此式可以看出，漢寧窗可以看作是 3 個矩形時間窗的頻譜之和，或者是 3 個 sin(t)型函數之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了 π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能?？梢钥闯?，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。 （4）海明(Hamming)窗 海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進的升余弦窗，其時間函數表達式為：