【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是無(wú)限長(zhǎng)的,需要求對(duì) 的一個(gè)逼近。采用窗函d )(?jdeH數(shù)設(shè)計(jì)法時(shí),可通過對(duì)理想濾波器的單位采樣響應(yīng)加窗設(shè)計(jì)濾波器　 　　 式（34))()(nhd?其中, 是一個(gè)長(zhǎng)度有限的窗,在區(qū)間 0 ≤ n ≤ N 外值為 0 ,且關(guān)n于中間點(diǎn)對(duì)稱　　　 式（35))1()nN??頻率響應(yīng)根據(jù)式 35 ,由卷積定理得出　　　 式（36))(2)(???jjdj eHe?理想的頻率響應(yīng)被窗函數(shù)的離散時(shí)間傅立葉變換 “平滑”了。)(?je　采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)理想響應(yīng)的逼近程度,由兩個(gè)因素決定:① 主瓣的寬度。② 旁瓣)(?jdeH)(?je)(j的幅度大小。理想的情況是 主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度固)(?je定的窗函數(shù)來(lái)說,這些不能獨(dú)立地達(dá)到最小。寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 11 頁(yè) 共 35 頁(yè) 窗函數(shù)的一些通用性質(zhì) (1)、窗函數(shù)的長(zhǎng)度 N 增加,主瓣的寬度減小,使得過渡帶變小。關(guān)系為:NB = C 其中:B 是過渡帶的寬度。C 是取決于窗函數(shù)的一個(gè)參數(shù)。如矩形窗為 4π。調(diào)整 N 可以有效地控制過渡帶的寬度,但 N 的改變不改變主瓣和旁瓣的相對(duì)比例。隨著 N 值增加,過渡帶變窄,波動(dòng)頻率也隨著增加,雖然總的幅度有所減少,但截止頻率附近的肩峰并不減少,而只是隨著 N 值的增加,肩峰被抑制在愈來(lái)愈小的范圍內(nèi),使肩峰寬度變窄。 (2)、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量,相應(yīng)旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度的減小,可以減少通帶和阻帶的波動(dòng),使通帶盡可能趨近水平,阻帶盡可能達(dá)到最大衰減。但通常此時(shí)過渡帶會(huì)變寬。 (3)、取不同的窗函數(shù)對(duì)幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長(zhǎng)度要強(qiáng)得多。 設(shè)計(jì)方法這種方法也叫傅里葉級(jí)數(shù)法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應(yīng) ，要求設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 濾波器頻率響應(yīng))(?jdeH來(lái)逼近 。設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，因而先由???10)(Nnnjjh? )(?jdeH的傅里葉反變換導(dǎo)出 ，即d nh 式（37）?njdd)(21)(?? 由于 是矩形頻率響應(yīng)特性，故 一定是無(wú)限長(zhǎng)序列，且是?je )(hd非因果的，而 FIR 濾波器的 必然是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的)(h來(lái)逼近無(wú)限長(zhǎng)的 ，最有效的方法是截?cái)?或者說用一個(gè)有限)(nhnd nd長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列 來(lái)截取 ，即d 式（38）)()(h?? 因而窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇就是關(guān)鍵。 我們以一個(gè)截止頻率為 的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波c寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 12 頁(yè) 共 35 頁(yè)器為例來(lái)討論。設(shè)低通特性的群延時(shí)為 ，即? 式（3????????cccjjdeH????,0)(9） 這表明，在通帶 ≤ 范圍內(nèi)， 的幅度是均勻的，其值為c)(jdeH1，相位是 。?? 式（3??)(sin21)( ???????????denhjdc10） 是中心點(diǎn)在 的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的 ，)(d )(nh一種最簡(jiǎn)單的方法就是取矩形窗 ，即)(nRN 式（3)(N??11） 但是按照線形相位濾波器的約束， 必須是偶對(duì)稱的，對(duì)稱中心應(yīng)nh為長(zhǎng)度的一半(N1)/2，因而必須 =(N1)/2，所以有? 式（312）???????????21N,01)()()(??為 其 他nNhndd 將式 39 代入式 310，可得 式（313）10,0)21(sin)( ??????????????Nnhc為 其 他 值?? 此時(shí)，一定滿足 這一線性相位的條件。)()hn? 下面求 的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性， )(h寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 13 頁(yè) 共 35 頁(yè)以便能看出加窗處理后究竟對(duì)頻率響應(yīng)有何影響。 按照復(fù)卷積公式，在時(shí)域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即 式（314）?????deHejdj )(21)(???? 因而 逼近 的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性jHjd。)(?jeW 窗函數(shù) 的頻率特性 為)(n)(?jeW 式（315）???10)()(Nnnjj 對(duì)矩形窗 ，則有)nRN 式（316）)2sin()(110NeeWjNnjjR ?????? 也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) 式（317）??)21()(??NjRjNee 其中 式（318）)2sin()(NWR?? 就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù) 在 之內(nèi))(?jReW)(?RWN/2???為一個(gè)主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫成 式（319）??)21()(??NjdjdeHe寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 14 頁(yè) 共 35 頁(yè) 則其幅度函數(shù)為 式（320）?????????cdH,01)( 窗函數(shù)介紹 實(shí)際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型和特點(diǎn)： （1）矩形窗 矩形窗屬于時(shí)間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為: 式（321）??????Ttt,01)(?相應(yīng)的窗譜為： 式（322）TW?sin2)(? 矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 15 頁(yè) 共 35 頁(yè)圖 31 矩形窗的時(shí)域及頻域波形（2）三角窗亦稱費(fèi)杰(Fejer)窗，是冪窗的一次方形式，其函數(shù)形式是： 式（323）???????Tttt,0),1()?三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無(wú)負(fù)旁瓣，如圖 32 所示。圖 32 三角窗的時(shí)域波形圖（3）漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時(shí)域表達(dá)式為：寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院信息工程系 第 16 頁(yè) 共 35 頁(yè) 式（324）????????Tttt,0),cos21()??相應(yīng)的窗譜為： 式（325）????????????TW)sin()sin(21si)( 由此式可以看出，漢寧窗可以看作是 3 個(gè)矩形時(shí)間窗的頻譜之和，或者是 3 個(gè) sin(t)型函數(shù)之和，而括號(hào)中的兩項(xiàng)相對(duì)于第一個(gè)譜窗向左、右各移動(dòng)了 π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能?？梢钥闯?，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。 （4）海明(Hamming)窗 海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進(jìn)的升余弦窗，其時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為：