【文章內容簡介】 ? ????以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線 *1()Ks s p?*12( ) ( )Ks s p s p??*1 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???*21 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線 法則六 . 根軌跡的起始角和終止角 根軌跡的 終止角 是指根軌跡在 終止零點處的切線與水平正方向的夾角。 根軌跡的 起始角 是指根軌跡在 起點處的 切線與水平正方向的夾角 。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ???)()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ???????例 : * ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s jG s H ss j s j? ? ? ??? ? ? ? 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。 ?a和交點 ?a 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk ① n=2，有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別 起始 于開環(huán)極點 (1j2), (1+j2) ； 終止 于開環(huán)零點 (2j) ,(2+j) ③ 確定起始角 ,終止角。 ?解 七 . 根軌跡的分離點坐標 d ?定義 ：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在 s平面上相遇又分開的點。 ?若根軌跡位于 實軸兩相鄰 開環(huán) 極點 之間，則此二極點之間至少存在一個 分離點 。 ?若根軌跡位于 實軸兩相鄰 開環(huán) 零點 之間，則此二極點之間至少存在一個 會合點 。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 ? ?? ? ???nimj ji zdpd1 111d ds (spi) ∏ j=1 n (szi) ∏ m i=1 s=d = 0 例： *2( 1 )( ) ( )3 3 .2 5KsG s H sss????已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標 d，并概略繪制出根軌跡圖。 七 . 根軌跡的分離點坐標 d 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 ? ?? ? ???nimj ji zdpd1 111 ?a和交點 ?a 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 解： 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點 12 1 , 1p j p j? ? ? ? ? ?按步驟： ① n=2,m=1,有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點 ③ 實軸上根軌跡位于有限零點－ 1和無窮零點之間，因此判斷有分離點 ④ 離開復平面極點的 初始角 為 11 1 2 12180180 116 .57 90 206 .57206 .57p z p p pp? ? ??? ? ?? ? ? ???1. 5 1 1. 5 1 1221( 2 1 )21aajjk????? ? ? ? ?? ? ??????⑤ 漸近線 121 1 1 1 1 1 2 , 2d j d j ddd??? ? ? ? ?? ? ?（舍去） 求分離點坐標 d 此系統(tǒng)根軌跡如圖 415所示 圖 4－ 15 八 . 分離角與會合角 分離角 是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。 會合角 是指根軌跡進入相鄰零點處的切線與實軸正方向的夾角 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 ? = (2k+1)? l 計算公式 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) H(s)= K*(s+2) s(s+1) 概略繪制出根軌跡圖。 練習：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) H(s)= K*(s+2) (s+1j)(s+1+j) 概略繪制出根軌跡圖。 結論：由兩個極點（實數(shù)或復數(shù)極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當K（ 0→∞ ），閉環(huán)根軌跡的復數(shù)部分是以零點為圓心，以零點到分離點的距離為半徑的一個圓或圓的一部分。 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? 九 . 根軌跡與虛軸的交點 如根軌跡與虛軸相交，則交點上的 K* 值和 ? 值可用 勞斯判據(jù) 判定，也可 令閉環(huán)特征方程中的 s=j? ，然后分別令其實部和虛部為零求得。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例 : 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 *2( ) ( ) ( 3 ) ( 2 2 )KG s H ss s s s?? ? ?九 . 根軌跡與虛軸的交點 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 解 ： 按步驟畫圖 ① 有 4條根軌跡 ② 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0， 3， 1+j1, 1j1 ；終于無窮遠 ③ 實軸上的根軌跡在 0到 3之間 ④ 漸 近 線 00( 2 1 )45 , 13 540 3 1 1 1 14aakjj????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?⑤ 確定分離點 d 4110idp???1 2 , 32 .3 , 0 .9 2 0 .3 7d d j? ? ? ? ?解方程得 （舍去） 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 000180180 135 90p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????⑥ 確定起始角 ⑦ 確定根軌跡與虛軸的交點。 2*( ) ( 3 ) ( 2 2) 0D s s s s s K? ? ? ? ? ?* 5 , ? ? ? ?sj??令 代入上式 解得 閉環(huán)系統(tǒng)的 特征方程 為 十 . 根之和 *1 1 1121 2 1( ) ( ) ( )n m ni j ii j in n nnns p K s z s ss a s a s a s a? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 若 根之和與開環(huán)根軌跡增益 無關。 此時 開環(huán) n個極點之和等于閉環(huán) 特征方程 n個根和 。 ( ) 2nm??*Ki=1 ∑ m pi i=1 ∑ n si = 在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此， nm?2的系統(tǒng)，當增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在 s平面上 向左 移動時，則必有另一些極點 向右 移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。 練習： 已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)= K s(s+1)(+1) (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 (2)為使系統(tǒng)的階躍響應呈現(xiàn)衰減振蕩形式，試確定 K的取值范圍。 解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算： ① 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其中 K*＝ 4K ② 根軌跡分支數(shù)為 3 條； ③ 起點 p1＝ 0， p2＝－ 1， p3=4；終止于無限零點