【正文】 ?單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 試繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 附加適當的開環(huán)零點可改善系統(tǒng)性能 4－ 3 廣義根軌跡 二 . 附加開環(huán)零點的作用 解： 此系統(tǒng)開環(huán)有三個極點 0， 0，－ 10 按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示 圖中兩條根軌跡位于 s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個右極點。說明開環(huán)增益無論取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。 *12 10K s zGsss???（ ）（ ）（ ）1 0 ~ 1 04 3 1z ??將 設 置 在 （ ） 之 間 ，則 附 加 零 點 后 的 系 統(tǒng) 根 軌 跡 如 圖 所 示 。若在系統(tǒng)中附加一個負實數零點 z1，用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ???明 顯 看 出 ，當 開 環(huán) 增 益 K 由 0 時 ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 全 部 位于 s 平 面 左 半 部 ，即 K 取 何 值 系 統(tǒng) 均 穩(wěn) 定 。當 0K 時 ,閉 環(huán) 總 有 一 對 靠 近 虛 軸 的 共 軛 復 數 極 點 ,所 以 系 統(tǒng) 的 階 躍 響 應 是 衰 減 振 蕩 的 ，且 振 蕩 頻 率 隨 K 的 增 大 而 增 大 。1 10z ??若 零 點 ，則 系 統(tǒng) 根 軌 跡 如 圖 。14 32 20zs? ? ?由 圖 看 出 ， 附 加 的 零 點 后 ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 仍 有 兩 條 始 終 位 于 平 面 的 右 半 部 ，系 統(tǒng) 仍 無 法 穩(wěn) 定 。因 此 ， 引 入 的 附 加 零 點 要 恰 當 ， 才 能 使 系 統(tǒng) 的 性 能 有 所 改 善 。 一 . 主導極點和偶極子 ?主導極點 ： 就是對動態(tài)過程影響占主導地位的極點，一般是 離虛軸最近的極點。 iiikkkjsjs????????如果有兩個極點：的作用就可以忽略。，極點若 iki s4???4－ 4 系統(tǒng)性能分析 ?偶極子 ： 就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點 就可以將其忽略不計。在對系統(tǒng)進行分析時，是一對偶極子。與時，就可以認為當 ikkikzsszs????一 . 主導極點和偶極子 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 ?主導極點在動態(tài)過程中起主要作用， 計算性能指標時 ，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中 主導極點 對應的分量 ，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng) ，計算性能指標的公式和曲線。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 21()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )s s s s?? ? ? ?試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 。 %, st?1 2 , 31. 5 , 4 9. 2s s j? ? ? ? ?解： 系統(tǒng)有三個閉環(huán)極點 其零、極點分布如圖所示。 某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 極點 離虛軸最近所以系統(tǒng)的主導極為 ，而其他兩個極點可以忽略。 1s1s二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。 傳遞函數為 式中： T = 根據時域分析可知 一階系統(tǒng)無超調 調節(jié)時間 11()0 . 6 7 1 1ss Ts? ? ???%0? ?3 3 7 1st T s s? ? ? ?二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數 試估計系統(tǒng)的性能指標。 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 解： 閉環(huán)零、極點分布 如圖所示 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng) 21()0 . 0 1 0 . 0 8 1s ss?? ??10. 4 , 10n s?? ???2 2/1 0. 4 3. 14 / 1 0. 4% 100 % 100 %25% 10seet s s? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ? ??對應性能指標 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 1. 穩(wěn)定性 三 . 系統(tǒng)性能分析 如果閉環(huán)極點全部位于 S左半平面，即 系統(tǒng)根軌跡位于 S左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的 。 2. 運動形式 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無零點且閉環(huán)極點均為實數 ，則時間 響應一定是單調 的；如果閉環(huán) 極點均為復數 極點，則時間 響應一般是振蕩 的。 3. 超調量 取決于閉環(huán)復數主導極點的衰減率 ?/?d，并與其他閉環(huán)零點、極點接近原點的程度有關 。 4. 調節(jié)時間 主要取決于閉環(huán)主導極點的實部絕對值 ?=??n。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 5. 實數零點、極點的影響 三 . 系統(tǒng)性能分析 零點 減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時間提前，超調量增大； 極點 增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時間滯后，超調量減小。 6. 偶極子 遠離原點的偶極子，其影響可以忽略，接近原點的偶極子其必。 7. 主導極點 凡比主導極點的實部大 3~6倍以上的其他閉環(huán)零、極點其影響均可忽略。 例： 已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 G(s)= K s(s+1)(+1) (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 (2)為使系統(tǒng)的階躍響應呈現衰減振蕩形式，試確定 K的取值范圍。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 三 . 系統(tǒng)性能分析 K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無零點且閉環(huán)極點均為實數 ，則時間 響應一定是單調 的；如果閉環(huán) 極點均為復數 極點，則時間 響應一般是振蕩 的。 解：根據根軌跡繪制法則，按步計算： ① 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 其中 K*＝ 4K ② 根軌跡分支數為 3 條； ③ 起點 p1＝ 0， p2＝－ 1， p3=4；終止于無限零點處。 ④ 實軸上根軌跡區(qū)段［－ 1， 0］及［－ ∞，－ 4］ ⑤ 漸近線的位置與方向 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)H(s)= K* s(s+1)(s+4) ?a = 3 14 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) ⑥ 分離點與分離角 d 1 + d+1 1 d+4 1 + = 0 d1= , d2= (此點不在根軌跡上舍去） 分離角為 + 和 2 ? 2 ? ⑦ 與虛軸的交點 將 s=j?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由實部、虛部為零 解得 ?＝ 2， k*=20, 由于 k*=4k， k=5 ? j ? ⑧ 確定 k的取值范圍 與分離點 d1= k*可由 模值條件求得 k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|= K=k*/4= 由圖可知使系統(tǒng)的階躍響應呈現 衰減振蕩形式 k的取值范圍 k