【正文】 ?單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 附加適當(dāng)?shù)拈_(kāi)環(huán)零點(diǎn)可改善系統(tǒng)性能 4－ 3 廣義根軌跡 二 . 附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的作用 解： 此系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有三個(gè)極點(diǎn) 0， 0，－ 10 按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示 圖中兩條根軌跡位于 s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個(gè)右極點(diǎn)。說(shuō)明開(kāi)環(huán)增益無(wú)論取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。 *12 10K s zGsss???（ ）（ ）（ ）1 0 ~ 1 04 3 1z ??將 設(shè) 置 在 （ ） 之 間 ，則 附 加 零 點(diǎn) 后 的 系 統(tǒng) 根 軌 跡 如 圖 所 示 。若在系統(tǒng)中附加一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn) z1，用來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ???明 顯 看 出 ，當(dāng) 開(kāi) 環(huán) 增 益 K 由 0 時(shí) ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 全 部 位于 s 平 面 左 半 部 ，即 K 取 何 值 系 統(tǒng) 均 穩(wěn) 定 。當(dāng) 0K 時(shí) ,閉 環(huán) 總 有 一 對(duì) 靠 近 虛 軸 的 共 軛 復(fù) 數(shù) 極 點(diǎn) ,所 以 系 統(tǒng) 的 階 躍 響 應(yīng) 是 衰 減 振 蕩 的 ，且 振 蕩 頻 率 隨 K 的 增 大 而 增 大 。1 10z ??若 零 點(diǎn) ，則 系 統(tǒng) 根 軌 跡 如 圖 。14 32 20zs? ? ?由 圖 看 出 ， 附 加 的 零 點(diǎn) 后 ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 仍 有 兩 條 始 終 位 于 平 面 的 右 半 部 ，系 統(tǒng) 仍 無(wú) 法 穩(wěn) 定 。因 此 ， 引 入 的 附 加 零 點(diǎn) 要 恰 當(dāng) ， 才 能 使 系 統(tǒng) 的 性 能 有 所 改 善 。 一 . 主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 ?主導(dǎo)極點(diǎn) ： 就是對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是 離虛軸最近的極點(diǎn)。 iiikkkjsjs????????如果有兩個(gè)極點(diǎn)：的作用就可以忽略。，極點(diǎn)若 iki s4???4－ 4 系統(tǒng)性能分析 ?偶極子 ： 就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn) 就可以將其忽略不計(jì)。在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，是一對(duì)偶極子。與時(shí)，就可以認(rèn)為當(dāng) ikkikzsszs????一 . 主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) ?主導(dǎo)極點(diǎn)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中起主要作用， 計(jì)算性能指標(biāo)時(shí) ，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中 主導(dǎo)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的分量 ，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng) ，計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 21()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )s s s s?? ? ? ?試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 。 %, st?1 2 , 31. 5 , 4 9. 2s s j? ? ? ? ?解： 系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) 其零、極點(diǎn)分布如圖所示。 某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 極點(diǎn) 離虛軸最近所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極為 ，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。 1s1s二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 這時(shí)系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。 傳遞函數(shù)為 式中： T = 根據(jù)時(shí)域分析可知 一階系統(tǒng)無(wú)超調(diào) 調(diào)節(jié)時(shí)間 11()0 . 6 7 1 1ss Ts? ? ???%0? ?3 3 7 1st T s s? ? ? ?二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 解： 閉環(huán)零、極點(diǎn)分布 如圖所示 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng) 21()0 . 0 1 0 . 0 8 1s ss?? ??10. 4 , 10n s?? ???2 2/1 0. 4 3. 14 / 1 0. 4% 100 % 100 %25% 10seet s s? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ? ??對(duì)應(yīng)性能指標(biāo) 20 . 5 9 1()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )sss s s???? ? ?二 . 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 1. 穩(wěn)定性 三 . 系統(tǒng)性能分析 如果閉環(huán)極點(diǎn)全部位于 S左半平面，即 系統(tǒng)根軌跡位于 S左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的 。 2. 運(yùn)動(dòng)形式 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù) ，則時(shí)間 響應(yīng)一定是單調(diào) 的；如果閉環(huán) 極點(diǎn)均為復(fù)數(shù) 極點(diǎn)，則時(shí)間 響應(yīng)一般是振蕩 的。 3. 超調(diào)量 取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率 ?/?d，并與其他閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān) 。 4. 調(diào)節(jié)時(shí)間 主要取決于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值 ?=??n。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 5. 實(shí)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的影響 三 . 系統(tǒng)性能分析 零點(diǎn) 減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間提前，超調(diào)量增大； 極點(diǎn) 增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間滯后，超調(diào)量減小。 6. 偶極子 遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子，其影響可以忽略，接近原點(diǎn)的偶極子其必。 7. 主導(dǎo)極點(diǎn) 凡比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大 3~6倍以上的其他閉環(huán)零、極點(diǎn)其影響均可忽略。 例： 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)= K s(s+1)(+1) (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 (2)為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩形式，試確定 K的取值范圍。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 三 . 系統(tǒng)性能分析 K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù) ，則時(shí)間 響應(yīng)一定是單調(diào) 的；如果閉環(huán) 極點(diǎn)均為復(fù)數(shù) 極點(diǎn)，則時(shí)間 響應(yīng)一般是振蕩 的。 解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計(jì)算： ① 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 其中 K*＝ 4K ② 根軌跡分支數(shù)為 3 條； ③ 起點(diǎn) p1＝ 0， p2＝－ 1， p3=4；終止于無(wú)限零點(diǎn)處。 ④ 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段［－ 1， 0］及［－ ∞，－ 4］ ⑤ 漸近線的位置與方向 ?a和交點(diǎn) ?a d 2. 對(duì)稱于實(shí)軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會(huì)合角 ? G(s)H(s)= K* s(s+1)(s+4) ?a = 3 14 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) ⑥ 分離點(diǎn)與分離角 d 1 + d+1 1 d+4 1 + = 0 d1= , d2= (此點(diǎn)不在根軌跡上舍去） 分離角為 + 和 2 ? 2 ? ⑦ 與虛軸的交點(diǎn) 將 s=j?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由實(shí)部、虛部為零 解得 ?＝ 2， k*=20, 由于 k*=4k， k=5 ? j ? ⑧ 確定 k的取值范圍 與分離點(diǎn) d1= k*可由 模值條件求得 k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|= K=k*/4= 由圖可知使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn) 衰減振蕩形式 k的取值范圍 k