[工學(xué)]第4章____線(xiàn)性系統(tǒng)的概軌跡法(已修改)
2025-01-31 11:57 本頁(yè)面
【正文】 第四章 線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡法 167。 41 根軌跡法的基本概念 167。 42 常規(guī)根軌跡的繪制法則 167。 43 廣義根軌跡 167。 44 系統(tǒng)性能的分析 重點(diǎn)與難點(diǎn) ?能熟練運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)，并對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行定性分析。 ?正確理解和熟記根軌跡方程 (模方程及相角方程 )。熟練運(yùn)用模方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開(kāi)環(huán)增益。 ?熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益 K從零變化到正無(wú)窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。 ?了解繪制廣義根軌跡的思路、要點(diǎn)和方法。 根軌跡法 根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出 閉環(huán) 極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的方便。 閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。 1. 定義 4－ 1 根軌跡法的基本概念 一 .根軌跡 當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為 正 反饋時(shí)，對(duì)應(yīng)的軌跡為 0o 根 軌跡，其相角遵循 0o+2k?；而 負(fù) 反饋系統(tǒng)的軌跡為 根軌跡，其相角遵循 180o+2k? 。 180? 根軌跡是指系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù) (如開(kāi)環(huán)增益 K)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。 根軌跡法 可以在已知開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開(kāi)環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無(wú)窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即 根軌跡 。 例： 系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)為： () ( 0 . 5 1 )KGs ss? ?4－ 1 根軌跡法的基本概念 一 .根軌跡 極點(diǎn) , 零點(diǎn) ，開(kāi)環(huán)增益為 。 120 , 2pp? ? ? K 無(wú) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 為 : 2( ) 2()( ) 2 2C s KsR s s s K? ? ? ??閉環(huán)特征方程 為 : 2( ) 2 2 0D s s s K? ? ? ?閉環(huán)特征根 為 : 121 1 2 , 1 1 2s K s K? ? ? ? ? ? ? ? 每個(gè)特征根都隨 K的變化而變化。例如，設(shè) K=0 K= K=1 K= K=+∞ 12121212120 , 21 , 11 , 11 2 , 1 21 , 1sssss j s js j s js j s j? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?4－ 1 根軌跡法的基本概念 一 .根軌跡 121 1 2 , 1 1 2s K s K? ? ? ? ? ? ? ? 如果把不同 K值的閉環(huán)特征根布置在 s平面上，并連成線(xiàn)則可畫(huà)出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。 4－ 1 根軌跡法的基本概念 二 .根軌跡與系統(tǒng)性能 當(dāng) K從 0→∞ 時(shí) 根軌跡沒(méi)有越過(guò)虛軸進(jìn)入右半 s平面，此系統(tǒng)對(duì)所有 K值都是穩(wěn)定的。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的 K值為臨界開(kāi)環(huán)增益 . 由穩(wěn)態(tài)誤差要求可求出 K的取值范圍。 0K，系統(tǒng)為 過(guò)阻尼 系統(tǒng)。 K＝ 點(diǎn)重合，系統(tǒng)為過(guò) 臨界阻尼 系統(tǒng)。 K，系統(tǒng)為 欠阻尼 系統(tǒng)。 ()()1 ( ) ( )GssG s H s? ? ?4－ 1 根軌跡法的基本概念 三 .閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 G（ s）表示為 221 2 1 2221 2 2 2* 11( 1 ) ( 2 1 )()( 1 ) ( 2 1 )()()GfiiG qiiK s s sGss T s T s T sszKsp?? ? ? ????? ? ??? ? ??????……2* 1222GGKK TT???1…… KG為前向通道增益， KG* 為前向通道根軌跡增益 K(s+1) G(s)= s(+1) 2() ( 0 . 0 5 1 ) ( 0 . 0 5 0 . 2 1 )KGss s s s?? ? ? KG與 KG*關(guān)系？ 首 1型 尾 1型 K*(s+1) G(s)= s( s+2) K* G(s)= s( s+20)(s2+4s+20) Π i=1 m （ zi ） K= Π i=1 m （ pi ） K* KH* 為反饋通道 的根軌跡增益 1*1()()()ljjH hjjszH s Ksp???????3. 反饋通道傳遞函數(shù) H(s)表示為 4－ 1 根軌跡法的基本概念 三 .閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 11**1111*11( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )f lijijGH q lijiif lijijq hijijs z s zG s H s K Ks p s ps z s zKs p s p??????????????????????????h 4. 閉環(huán)傳遞函數(shù) * 11()()()fhkkG nkkszsKsp?????????,kkzp 分別為閉環(huán)零、極點(diǎn) 4－ 1 根軌跡法的基本概念 三 .閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 * 11()()()fhkkG nkkszsKsp?????????4－ 1 根軌跡法的基本概念 三 .閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 11**1111*11( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )f lijijGH q lijiif lijijq hijijs z s zG s H s K Ks p s ps z s zKs p s p??????????????????????????① 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益； ② 閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成 ③ 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及開(kāi)環(huán)根軌跡增益 有關(guān)。 *K四 .根軌跡方程 2. 根軌跡方程 G(s)H(s) = 1 G(s)H(s)是系統(tǒng) 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)， G(s)H(s) = 1表 明了 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)與 閉環(huán) 極點(diǎn)的關(guān)系。 1. 閉環(huán)特征方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 D(s)=1+G(s)H(s)=0 閉環(huán)極點(diǎn)就是 閉環(huán) 特征方程的解，也稱(chēng)為特征根。 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有 m個(gè)零點(diǎn)， n個(gè)極點(diǎn)，且 n≥m ，則根軌跡方程 G(s)H(s)=1可寫(xiě)成如下形式： * 11()( ) ( ) 1()miiniiszG s H s Ksp???? ? ????四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 *11||1||miiniiK s zsp???????模值方程 相角方程 11( ) ( ) ( 2 1 )0 , 1 , 2 ,mniiiis z s p kk???? ? ? ? ? ? ?? ? ???? 在實(shí)際應(yīng)用中，用 相角方程 繪制
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