【正文】 ( 1 )( ) ( )3 3 .2 5KsG s H sss????已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標 d，并概略繪制出根軌跡圖。 會合角 是指根軌跡進入相鄰零點處的切線與實軸正方向的夾角 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 ? = (2k+1)? l 計算公式 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) H(s)= K*(s+2) s(s+1) 概略繪制出根軌跡圖。 結(jié)論：由兩個極點（實數(shù)或復數(shù)極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當K（ 0→∞ ），閉環(huán)根軌跡的復數(shù)部分是以零點為圓心，以零點到分離點的距離為半徑的一個圓或圓的一部分。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例 : 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 2*( ) ( 3 ) ( 2 2) 0D s s s s s K? ? ? ? ? ?* 5 , ? ? ? ?sj??令 代入上式 解得 閉環(huán)系統(tǒng)的 特征方程 為 十 . 根之和 *1 1 1121 2 1( ) ( ) ( )n m ni j ii j in n nnns p K s z s ss a s a s a s a? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 若 根之和與開環(huán)根軌跡增益 無關(guān)。 ( ) 2nm??*Ki=1 ∑ m pi i=1 ∑ n si = 在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此， nm?2的系統(tǒng)，當增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在 s平面上 向左 移動時，則必有另一些極點 向右 移動，這樣才能保證極點之和為常值。 練習： 已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)= K s(s+1)(+1) (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算： ① 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其中 K*＝ 4K ② 根軌跡分支數(shù)為 3 條； ③ 起點 p1＝ 0， p2＝－ 1， p3=4；終止于無限零點處。 二 . 根軌跡方程 * 11()( ) ( ) 1()miiniiszG s H s Ksp???? ? ???? ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? 三 . 根軌跡規(guī)則 知識回顧 一 . 根軌跡法 在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布，即 根軌跡 。 4－ 3 廣義根軌跡 1. 開環(huán)零點變化時的根軌跡 ( ) ( )G s H s設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ( ) ( ) 1 0G s H s ??閉環(huán)特征方程為 () 10()PsAQs ??等效變換成 一 . 參數(shù)根軌跡 當變化的參數(shù)為開環(huán)增益 K以外的參數(shù)時的 根軌跡。 A為變化的參數(shù) 4－ 3 廣義根軌跡 1. 開環(huán)零點 變化時的根軌跡 例 1：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 一 . 參數(shù)根軌跡 G(s)H(s)= 2( Tas1 ) s (s+2) 求當 Ta從 0→ ∞ 變化時根軌跡。 4－ 3 廣義根軌跡 *1( ) ( )( 2 ) ( )KG s H ss s s p???10 等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 1p根據(jù)上式可畫出 變化時的廣義根軌跡。 例： *2()( 1 0 )KGsss??單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。說明開環(huán)增益無論取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。若在系統(tǒng)中附加一個負實數(shù)零點 z1，用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ???明 顯 看 出 ，當 開 環(huán) 增 益 K 由 0 時 ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 全 部 位于 s 平 面 左 半 部 ，即 K 取 何 值 系 統(tǒng) 均 穩(wěn) 定 。1 10z ??若 零 點 ，則 系 統(tǒng) 根 軌 跡 如 圖 。因 此 ， 引 入 的 附 加 零 點 要 恰 當 ， 才 能 使 系 統(tǒng) 的 性 能 有 所 改 善 。 iiikkkjsjs????????如果有兩個極點：的作用就可以忽略。在對系統(tǒng)進行分析時，是一對偶極子。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 21()( 0 . 6 7 1 ) ( 0 . 0 1 0 . 0 8 1 )s s s s?? ? ? ?試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 。 某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 極點 離虛軸最近所以系統(tǒng)的主導極為 ，而其他兩個極點可以忽略。 傳遞函數(shù)為 式中： T = 根據(jù)時域分析可知 一階系統(tǒng)無超調(diào) 調(diào)節(jié)時間 11()0 . 6 7 1 1ss Ts? ? ???%0? ?3 3 7 1st T s s? ? ? ?二 . 利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 例 : 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 試估計系統(tǒng)的性能指標。 2. 運動形式 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無零點且閉環(huán)極點均為實數(shù) ，則時間 響應(yīng)一定是單調(diào) 的；如果閉環(huán) 極點均為復數(shù) 極點，則時間 響應(yīng)一般是振蕩 的。 4. 調(diào)節(jié)時間 主要取決于閉環(huán)主導極點的實部絕對值 ?=??n。 6. 偶極子 遠離原點的偶極子，其影響可以忽略，接近原點的偶極子其必。 例： 已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)= K s(s+1)(+1) (1)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 4－ 4 系統(tǒng)性能分析 三 . 系統(tǒng)性能分析 K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 如果閉環(huán) 系統(tǒng)無零點且閉環(huán)極點均為實數(shù) ，則時間 響應(yīng)一定是單調(diào) 的；如果閉環(huán) 極點均為復數(shù) 極點，則時間 響應(yīng)一般是振蕩 的。 ④ 實軸上根軌跡區(qū)段［－ 1， 0］及［－ ∞，－ 4］ ⑤ 漸近線的位置與方向 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)H(s)= K* s(s+1)(s+4) ?a = 3 14 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) ⑥ 分離點與分離角 d 1 + d+1 1 d+4 1 + = 0 d1= , d2= (此點不在根軌跡上舍去） 分離角為 + 和 2 ? 2 ? ⑦ 與虛軸的交點 將 s=j?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由實部、虛部為零 解得 ?＝ 2， k*=20, 由于 k*=4k， k=5 ? j ? ⑧ 確定 k的取值范圍 與分離點 d1= k*可由 模值條件求得 k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|= K=k*/4= 由圖可知使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn) 衰減振蕩形式 k的取值范圍 k5