[工學(xué)]第4章____線性系統(tǒng)的概軌跡法-文庫吧資料
2025-01-25 11:57本頁面
【正文】 支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)或零點數(shù)中大者 2. 根軌跡的起于 極點 與終于 零點 11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ??? 5. 起始角 )()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ??????? 終止角 3. 實軸上根軌跡區(qū)段 極點＋零點數(shù)為奇數(shù) mnka ??? ?? )12( 4. 漸近線夾角 交點 mnzpnimjjia ???? ?? ?1 1? 6. 分離點 ? ?? ? ???nimj ji zdpd1 111 ? = (2k+1)? l s=j? ，然后分別令其實部 和虛部為零求得。 ④ 實軸上根軌跡區(qū)段［－ 1， 0］及［－ ∞，－ 4］ ⑤ 漸近線的位置與方向 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)H(s)= K* s(s+1)(s+4) ?a = 3 14 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) ⑥ 分離點與分離角 d 1 + d+1 1 d+4 1 + = 0 d1= , d2= (此點不在根軌跡上舍去） 分離角為 + 和 2 ? 2 ? ⑦ 與虛軸的交點 將 s=j?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由實部、虛部為零 解得 ?＝ 2， k*=20, 由于 k*=4k， k=5 ? j ? ⑧ 確定 k的取值范圍 與分離點 d1= k*可由 模值條件求得 k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|= K=k*/4= 由圖可知使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn) 衰減振蕩形式 k的取值范圍 k5 常 見 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 根 軌 跡 圖 知識回顧 一 . 根軌跡法 在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即 根軌跡 。 (2)為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩形式，試確定 K的取值范圍。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。 此時 開環(huán) n個極點之和等于閉環(huán) 特征方程 n個根和 。 *2( ) ( ) ( 3 ) ( 2 2 )KG s H ss s s s?? ? ?九 . 根軌跡與虛軸的交點 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 解 ： 按步驟畫圖 ① 有 4條根軌跡 ② 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0， 3， 1+j1, 1j1 ；終于無窮遠 ③ 實軸上的根軌跡在 0到 3之間 ④ 漸 近 線 00( 2 1 )45 , 13 540 3 1 1 1 14aakjj????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?⑤ 確定分離點 d 4110idp???1 2 , 32 .3 , 0 .9 2 0 .3 7d d j? ? ? ? ?解方程得 （舍去） 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 000180180 135 90p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????⑥ 確定起始角 ⑦ 確定根軌跡與虛軸的交點。 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? 九 . 根軌跡與虛軸的交點 如根軌跡與虛軸相交，則交點上的 K* 值和 ? 值可用 勞斯判據(jù) 判定，也可 令閉環(huán)特征方程中的 s=j? ，然后分別令其實部和虛部為零求得。 練習(xí)：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) H(s)= K*(s+2) (s+1j)(s+1+j) 概略繪制出根軌跡圖。 七 . 根軌跡的分離點坐標(biāo) d 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 ? ?? ? ???nimj ji zdpd1 111 ?a和交點 ?a 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 解： 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點 12 1 , 1p j p j? ? ? ? ? ?按步驟： ① n=2,m=1,有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點 ③ 實軸上根軌跡位于有限零點－ 1和無窮零點之間，因此判斷有分離點 ④ 離開復(fù)平面極點的 初始角 為 11 1 2 12180180 116 .57 90 206 .57206 .57p z p p pp? ? ??? ? ?? ? ? ???1. 5 1 1. 5 1 1221( 2 1 )21aajjk????? ? ? ? ?? ? ??????⑤ 漸近線 121 1 1 1 1 1 2 , 2d j d j ddd??? ? ? ? ?? ? ?（舍去） 求分離點坐標(biāo) d 此系統(tǒng)根軌跡如圖 415所示 圖 4－ 15 八 . 分離角與會合角 分離角 是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。 ?若根軌跡位于 實軸兩相鄰 開環(huán) 零點 之間，則此二極點之間至少存在一個 會合點 。 ?解 七 . 根軌跡的分離點坐標(biāo) d ?定義 ：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在 s平面上相遇又分開的點。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ???)()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ???????例 : * ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s jG s H ss j s j? ? ? ??? ? ? ? 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。 1 2 3 40 , 4 , 1 1 , 1 1 ,4p p p j p jn? ? ? ? ? ? ? ? ??極點 解： 零點 1 , 1zm? ? ?*2( 1 )( ) ( )( 4 ) ( 2 2 )KsG s H ss s s s??? ? ?法則五 . 根軌跡的漸近線 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 漸近線與實軸正方向的夾角為： mnka ??? ?? )12(漸近線與實軸相交點的坐標(biāo)為： mnzpnimjjia ???? ?? ?1 1?按照公式得 12300011( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )4 1 360 ( 0)18 0 ( 1 )30 0 ( 2)53nmiiiikkknmkkkpznm????????????????????????????? ? ????以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線 *1()Ks s p?*12( ) ( )Ks s p s p??*1 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???*21 2 3( ) ( ) ( )K
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