雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器(編輯修改稿)
2024-10-04 13:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x nT ? ? ? ? ? ? ? ? 兩邊分別取 z 變換，可得 11()()21() 1pY z AHzzXz sTz ???? ???? 這樣，通過上述過程，就可得到雙線性變換中的基本關(guān)系，如下所示 11211 zs Tz?????? 22sTzsT??? 所謂的雙線性變換，僅是指變換公式中 s 與 z 的關(guān)系無論是分子部份還是分母 部份都是線性的。 2. 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析 燕 山 大 學 課 程 設 計 說 明 書 9 雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻域軸上的頻率范圍壓縮到 ? /T~? /T 之間，再用 z=esT 轉(zhuǎn)換到 z 平面上。也就是說，第一步現(xiàn)將整個 S 平面壓縮映射到 S1 平面的 ? /T~? /T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān) 系 1eST 將此橫帶變換到整個z平面上去。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對應的膽汁關(guān)系，消除了多只變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。 為了將 S 平面的整個虛軸 j? 壓縮到 1S平 面 軸上的 ? /T 到 ? /T 段上，可以通過以上的正切的變換實現(xiàn) ? =2/Ttan( 1? T/2) 式中， T 仍是采樣間隔。 當 1? 由 ? /T 經(jīng)過 0 變化到 ? /T 時， ? 由 ? 經(jīng)過 0 變化到 +? ，也即映射了整個 j? 軸。將上式 寫成 燕 山 大 學 課 程 設 計 說 明 書 10 11222 TTjjeejT????? ? ?? 將此關(guān)系解析延拓到整個 S 平面和 1S平 面 ，令 j? =s, 1j? =S1,則得 S 1112 2 1t an( )2 1 e sTsTST eTT ??? ? ? ? 再將 S1 平面通過以下標準變換關(guān)系映射到 Z 平面： z= S1Te 從而得到 S 平面和 Z 平面的單值映射關(guān)系為 。 11211 ZS TZ???? ? 1 221 22TTSSZ TTSS?????? 以上兩式 是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比 ，因此成為雙線性變換。 依靠雙線性變換是建立起來 s 平面和 z 平面的單值映射關(guān)系，由上式我們可以得到模擬頻率 ? 和數(shù)字頻率 ? 之間的關(guān)系： 2 tan( )2T ??? 從上式可知，當 ? ? ? 時， ? 終止在折疊頻率 ? =? 處，整個 j? 軸是單值地對應于單位元的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，它不存在頻率混淆問題。然而，付出的代價是在頻率軸上引入了失真。因此，只有當能容忍或補償這種失真時，使用雙線性變換法設計數(shù)字濾波器的方法才是實用的。僅在零頻率附近時 ? 與? 之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅燕 山 大 學 課 程 設 計 說 明 書 11 頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應有畸變。 圖 雙線性變化法的頻率關(guān)系 由于 S 平面的左半平面映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)， S 平面的右半平面映射到 Z 平面 的單位圓外， S 平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關(guān)系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預畸變來校正。用雙線 性變換設計數(shù)字濾波器時，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)上式 的頻率預畸變，求得相應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過雙線性變換公式球的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要燕 山 大 學 課 程 設 計 說 明 書 12 的位置上。 下面我們利用模擬濾波器設計 IIR 數(shù)字低通濾波器的步驟。 a)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：同代截止頻率 p? 、同代衰減 p? 、阻帶截止頻率 ? 、阻帶衰減 s? 。 b)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標。采用雙線性變換法，
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