01-線性空間與子空間(更新版)
【正文】 變時坐標變換的規(guī)律。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個數(shù)相等。[解] 一個直接的方法就是找一個最大線性無關組，其元素盡可能簡單。3． 線性相關性 線性空間中相關性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關性概念類似。2． 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。注意：1）線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因為同一個集合，如果數(shù)域不同，該集合構成的線性空間也不同。比如有理數(shù)域、實數(shù)域（R）和復數(shù)域（C）。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個抽象。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足。 設存在兩個零元素o1和o2，則由于o1和o2 均為零元素， 按零元律有 [交換律] o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2所以 o1＝o2 即 o1和o2 相同，與假設相矛盾，故只有一個零元素。?線性相關性：如果存在一組不全為零的數(shù)，使得對于元素有 則稱元素組線性相關，否則稱其線性無關。另一方面，還需說明元素個數(shù)最大。數(shù)域K兩種運算基一般元素空間類型維數(shù)復數(shù)域C（1）復數(shù)加法；（2）復數(shù)對復數(shù)的數(shù)乘{1}復線性空間1實數(shù)域R（1）復數(shù)加法；（2）實數(shù)對復數(shù)的數(shù)乘{1,i}實線性空間22． 坐標的定義：稱線性空間的一個基為的一個坐標系，它在該基下的線性表示為： 則稱為x在該坐標系中的坐標或分量，記為 討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)1. 定義：設V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件（1） 如果x、yV1，則x＋yV1；（2） 如果xV1，kK，則kxV1，則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。若xx這nm個元素必不在V1中。、yn1－m成為V1的一個基； 2）zz、xm、yy、xs為V1的基，yy假設xx、yt這組基下存在唯一的坐標使 x＝ 成為直和作業(yè)：P25－26 7，9，1216
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