23線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化(已修改)
2025-09-01 08:47 本頁面
【正文】 37 167。 線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化 如果用數(shù)字計(jì)算機(jī)對連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程求解，或者對連續(xù)受控對象采用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行在線控制，都要碰到一個(gè)將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為離散時(shí)間系統(tǒng)的問題。本節(jié)將討論線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化方法。 一、 線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化 設(shè)原線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： ).()t(u)t(D)t(X)t(CY )t(u)t(B)t(X)t(AX 612????? ??? 離散化后狀態(tài)空間表達(dá)式為： ? ? ).()kT(u)kT(D)kT(X)kT(C)kT(Y )kT(u)kT(H)kT(X)kT(GT)k(X 6221?????????? 式（ ）、（ ）之間的系數(shù)關(guān)系如下 ? ?? ?).()t(D)kT(D)t(C)kT(Cd)(B,T)k()kT(HkT,T)k()kT(GkTtkTtT)k(kT632111?????????? ????? 式中 ? ?kT,T)k( 1?? 表示 )t,t( 0? 在 kTtT)k( ??? 1 區(qū)段內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，而 )t,t( 0? 則表示原連續(xù)系統(tǒng)（ ）式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 證明 ：由上節(jié)（ ）式可知（ ）式的解為： ).(d)(u)(B),t(X)t,t()t(X tt 642000 ?????? ??? 對上式離散化，令 hTt,T)k(t ??? 01 ， T 為采樣周期，則得 ? ? ? ? ? ?).(d)(u)(B,T)k(XhT,T)k(T)k(X T)k(hT652111 10 ?????? ????? ? ? 再以 hTt,kTt ?? 0 代入（ ）式，則得 ).(d)(u)(B),kT(X)hT,kT()kT(X kThT 6620 ?????? ??? 將（ ）式兩邊同左乘 ? ?kT,T)k( 1?? ，得 38 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ).(d)(u)(B,T)k(XhT,T)k(d)(u)(B),kT(kT,T)k(X)hT,kT(kT,T)k()kT(XkT,T)k(kThTkThT6721111100??????????????????????????? 將（ ）式減去（ ）式得： ? ? ? ? ? ?).(d)(u)(B,T)k()kT(XkT,T)k(T)k(X T)k(kT682111 1 ?????? ????? ? ? 上式中，令 ? ?? ??????d)(B,T)k()kT(HkT,T)k()kT(GT)k(kT? ????? 111 設(shè) 在區(qū)間 ? ?T)k(,kT 1? 內(nèi)， )kT(u)(u ?? ，則（ ）式可簡寫成： ? ? )kT(u)kT(H)kT(X)kT(GT)k(X ????? 1 同時(shí)，對（ ）式輸出方程離散化，則證明了 )kT(u)kT(D)kT(X)kT(C)kT(Y ??? 二、 線性時(shí)不變系統(tǒng)的離散化 對于線性時(shí)不變系統(tǒng) ).(uDXCY uBXAX 692????? ??? 離散化狀態(tài)空間表達(dá)式為 ).()kT(uD)kT(XC)kT(Y )kT(u)T(H)kT(X)T(GT)k(X 7021??? ?? ??? 其中 D,C),T(H),T(G 均為常數(shù)陣，且 ).(B)de()T(He)T(GATAT7120???????? ?? 證明 ：由于時(shí)不變系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)的一種特殊情況，所以只需要證明式（ ）成立即可。由（ 2. 63）式可得 ? ?? ??????BdT)k()kT(H)T(Ge)T(kTT)k()kT(GT)k(kTAT?????????? ? 111 上式中，令 ,)( ???? Tkt 1 則 ?ddt ?? 39 積分項(xiàng) dtdtd TTT)k(kT ??? ???? 001 ? ，因此 )T(HB)dte(B)dt)t(()kT(H AtTT ??? ?? 00 ? 所以時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： )kT(u)T(H)kT(X)T(GT)k(X ??? 1 因?yàn)檩敵龇匠淌菭顟B(tài)向量和控制向量的某種線性組合，離散化后，這種組合關(guān)系不變，故 C 、 D 是不變的。 例 求連續(xù)系統(tǒng) )t(u)t(X)t(X ????????????? ?? 1020 10? 的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。 解 ：由式（ ）計(jì)算 ? ???????????????????????????????????????????????????????TTATe)e(S)S(SSLSSL)ASI(Le)T(G221111101211210211201 ????????????????????????????????????????????
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