01-線性空間與子空間-全文預(yù)覽
【正文】 ，所以該空間的維數(shù)為mn。[解] 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡單。線性相關(guān)性概念是個非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。3． 線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。 ②任一元素的負(fù)元素也是唯一的。2． 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。當(dāng)數(shù)域為實數(shù)域時，就稱為實線性空間；為復(fù)數(shù)域，就稱為復(fù)線性空間。注意：1）線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因為同一個集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。1． 線性空間的定義：設(shè)是一個非空集合，其元素用等表示；是一個數(shù)域，其元素用等表示。比如有理數(shù)域、實數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。★數(shù)域：一種數(shù)集，對四則運算封閉（除數(shù)不為零）。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個抽象。（II）在中定義一個“數(shù)乘”運算，即當(dāng)，時，有唯一的（封閉性），且數(shù)乘運算滿足下列性質(zhì)（5）數(shù)因子分配律 ； （6）分配律 ； （7）結(jié)合律 ； （8）恒等律 ； [數(shù)域中一定有1]則稱為數(shù)域上的線性空間。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足。②八條性質(zhì)（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2） xy=xy＝y(tǒng)x= yx（3） 1是零元素 x1＝ [xo=x——xo=x－o=1]（4） 是x的負(fù)元素 x＝ [x+y=o ]（5） （xy）xy [數(shù)因子分配律]（6） （x）（x） [分配律]（7） [結(jié)合律]（8） [恒等律]由此可證，是實數(shù)域R上的線性空間。 設(shè)存在兩個零元素o1和o2，則由于o1和o2 均為零元素， 按零元律有 [交換律] o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2所以 o1＝o2 即 o1和o2 相同，與假設(shè)相矛盾，故只有一個零元素。 [恒等律] ②：設(shè)w=(－1)x，則x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。?線性相關(guān)性：如果存在一組不全
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