5-內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)-全文預覽
【正文】 線性獨立系,則可將其進行標準正交化，得到一個標準正交系。,(3) e1=(1,0,…,0,0,0,…), e2=(0,1,…,0,0,0,…),…,en=(0,0,…,0,1,0,…),定理4 (勾股定理的推廣)設H是內(nèi)積空間，若{x1,x2,xn}?H是正交系，則,||x1+x2+…+xn||2=||x1||2+ ||x2||2+…||xn||2,(2),是l 2 中的標準正交系。,(2) 設{en}?H, 若,則稱{en}是H中的標準正交系。,?,第二十頁，共三十五頁。,3) 證明x0 是x在M中的正交投影,記x1=xx0, ?z?M, z??, ???C ?x0+?z?M,特取,4) 證明x0 是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的,設 是x在M上的兩個正交投影，則,第十六頁，共三十五頁。,注：正交補的性質(zhì)：,是H的閉線性子空間，即H的,完備子空間.,事實上，?x, y?M?及?z?M,有=0,=0 ? =? +? =0 ? ?M??M?為H線性子空間 ?{xn}?L?, xn?x, ?z?M ? =lim =0 ?x?M? ?M?為H的閉子空間,第十三頁，共三十五頁。 (2) x?M ??y?M, 都有 =0。這是內(nèi)積看所特有的性質(zhì)，這個定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因為巴拿赫空間中沒有正交性的概念）。且有x=x0+x1, 其中x1?該坐標平面。,6 內(nèi)積空間的完備化,定義5 (內(nèi)積空間的同構) 設X,Y是同一數(shù)域K上的內(nèi)積空間，若存在映射T: X?Y,保持線性運算和內(nèi)積不變,即?x,y?X, ??, ??K,有 (1) T(?x+?y)=?Tx+?Ty, (2) = 則稱內(nèi)積空間X與Y同構,而稱T為內(nèi)積空間X到Y的同構映射。,L2[a,b]按照由內(nèi)積導出的范數(shù),是Banach空間，因而是Hilbert空間。,Rn中由內(nèi)積導出的距離為,Rn按照由內(nèi)積導出的范數(shù),因而是Hilbert空間。,2 由內(nèi)積誘導的范數(shù)及由內(nèi)積誘導的距離,(2) 內(nèi)積與由內(nèi)積誘導的范數(shù)的等式關系：,(3) 由內(nèi)積誘導的范數(shù)滿足范數(shù)公理?內(nèi)積空間按照由內(nèi)積導出的范數(shù),是線性賦范空間。第五章 內(nèi)積空間與希爾伯特空間,內(nèi)積空間與希爾伯特空間,內(nèi)積空間+完備性?希爾伯特空間,歐氏空間?線性空間+內(nèi)積?內(nèi)積空間,第一頁，共三十五頁。,第二頁，共三十五頁。,4 希爾伯特空間,第四頁，共三十五頁。,l 2中由內(nèi)積導出的距離為,第六頁，共三十五頁。,5 內(nèi)積空間中的極限,證 xn?x ?||xnx|| ?0,yn?y ?||yny|| ?0,?| ? | | +| |,?||xnx|| ||yn|| + ||x|| ||yny||?0,? ? (n??),定義4 （極限）設X是內(nèi)積空間，?{xn}?X, x?X 及y?X,定理2 設H是希爾伯特空間，則H中的內(nèi)積是x,y的連續(xù)函數(shù), 即?{xn}、{yn}?H, x, y?H, 若xn?x, yn?y, 則?.,注：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù),（線性運算對內(nèi)積的連續(xù)性）,第九頁，共三十五頁。,二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理,在解析幾何中，有向量正交和向量投影的概念，而且兩個向量正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于0，而向量x在空間中坐標平面上的正交投影向量x0是將向
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