01-線性空間與子空間-文庫吧
2025-07-11 09:58 本頁面
【正文】 等律]由此可證，是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。2． 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。（2） 如下恒等式成立： o， 。 [證明]（1）采用反證法： ①零元素是唯一的。 設(shè)存在兩個零元素o1和o2，則由于o1和o2 均為零元素， 按零元律有 [交換律] o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2所以 o1＝o2 即 o1和o2 相同，與假設(shè)相矛盾，故只有一個零元素。 ②任一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè)，存在兩個負(fù)元素和，則根據(jù)負(fù)元律有 o＝ [零元律] [結(jié)合律] [零元律] 即和相同，故負(fù)元素唯一。 （2） ①：設(shè)w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。 [恒等律] ②：設(shè)w=(－1)x，則x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。3． 線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。?線性組合： 稱為元素組的一個線性組合。?線性表示：中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。?線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)，使得對于元素有 則稱元素組線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概念是個非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。4． 線性空間的維數(shù)定義：線性空間中最大線性無關(guān)元素組所含元素個數(shù)稱為的維數(shù)，記為。本課程只考慮有限維情況，對于無限維情況不涉及 。例2. 全體mn階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個實(shí)線性空間（對于矩陣加法和數(shù)對矩陣的數(shù)乘運(yùn)算），求其維數(shù)。[解] 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡單。令Eij為這樣的一個mn階矩陣，其（i, j）元素為1，其余元素為零。顯然，這樣的矩陣共有mn個，構(gòu)成一個具有mn個元素的線性無關(guān)元素組。另一方面，還需說明元素個數(shù)最大。對于任意的，都可由以上元素組線性表示， —— 即構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。二、 線性空間的基與坐標(biāo)1． 基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，是屬于V的r個任意元素，如果它滿足（1）線性無關(guān)；（2）V中任一向量x均可由線性表示。
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