高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間-資料下載頁
2025-04-17 13:05本頁面
【正文】 集為V的一組基.證明: 設(shè)是的一組基,它們線性無關(guān),于是它們是V的一組基. 證畢.定義 設(shè)為V的子空間,若子空間滿足,則稱為的補空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.證明: 設(shè)為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取的一組基,將其擴為V的一組基取,則有,且,于是,.167。8 線性空間的同構(gòu)一 授課內(nèi)容:167。1線性空間的同構(gòu)二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定.三 教學(xué)重點:線性空間同構(gòu)的判定.四 教學(xué)難點:線性空間同構(gòu)的判定.五 教學(xué)過程:定義 設(shè)為數(shù)域上的線性空間,為映射,且滿足以下兩個條件:i)；ii),則稱為(由到的)線性映射.由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為Hom,或簡記為Hom.定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替:.例 是上的線性空間,也是上線性空間,取定一個上的矩陣,定義映射則是由到的線性映射.例 考慮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令再令則是由到的一個線性映射.定義 設(shè)是線性映射i)如果是單射,則稱是單線性映射(monomorphism)；ii)如果是滿射,則稱是滿線性映射(endmorphism)；iii)如果既單且滿,則稱為同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu),isomorphism),并說與是同構(gòu)的,同構(gòu)映射也稱為線性空間的同態(tài)(homomorphism),同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射；iv)的核(kernel)定義為；v)的像(image)定義為,也記為；命題 和是的子空間.證明:容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉.vi)的余核定義為.命題 線性映射是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker,是滿的當(dāng)且僅當(dāng)coker.定理(同態(tài)基本定理) 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的滿線性映射,則映射是同構(gòu)映射.證明:首先證明是映射,即若,存在,即.再證明是線性映射.,有. 易見是滿射,則,于是,. 命題 設(shè)是線性映射,則下述三條等價: i)單； ii)將中任意線性無關(guān)組映為中的線性無關(guān)組； iii).證明:i)ii)若線性無關(guān),則令,由線性映射的定義,.單,于是,則,ii)成立；ii)iii)若取的一組基,則由已知, 線性無關(guān),而中任意向量可以被線性表出,于是構(gòu)成的一組基,iii)成立；iii)i)由同態(tài)基本定理知,于是,.７７
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